AP 통계학 I · 시험 직전 정리

1장 일변량 자료, 2장 이변량 자료(상관·회귀), 3장 자료 수집(관찰연구·표본추출). 수업 프린트와 선생님 설명을 반영했고, 풀이에 나오는 모든 수치는 코드로 다시 계산해 검산했어요.

→ 출제 유형 · 모의고사 바로가기 · → 필출: Random sampling method 적용 (3.5절)

1 · 2 · 3장그림 62개연습문제 45개모의고사 41문항플래시카드 104장검산 도구 3개다크 모드

시험 전에 확인할 것

선생님이 반복해서 강조한 것 (수업 녹취 기준)

chap3 마지막 페이지 = Random sampling method 적용은 반드시 출제(9/22 구글 클래스룸 공지: "네 개 중에 하나 나와요"). SRS · Stratified · Cluster · Systematic 넷 다 쓸 수 있어야 해요 → 3.5절, 모의고사 D.
분포 묘사는 SOCS 네 가지를 전부: Shape · Outliers · Center · Spread. 중간고사에 거의 낼 것 같다고 했고, 문맥 속 단어로 써야 해요.
사분위수는 AP 방식으로: 중앙값으로 반을 나누고, 각 절반의 중앙값. 엑셀·파이썬 함수는 방식이 달라 값이 다를 수 있어요.
상자그림: 울타리(1.5×IQR), 수염은 이상치를 뺀 최솟값·최댓값까지. five-number summary 자체는 이상치가 있어도 그대로예요.
식은 시험지에 안 주니 외우기: r(두 가지 꼴), b = r·s_y/s_x, a = ȳ − b·x̄, Σe = 0, 직선은 (x̄, ȳ)를 지난다.
잔차도는 회귀를 하면 반드시 그려서 본다. 패턴이 있으면 선형 모델이 부적절하고 비선형 모델이 더 낫다. r²가 높아도 마찬가지예요.
r² · 기울기 해석 문장은 서술형으로 나올 가능성이 높다고 했어요. 반응변수·설명변수를 문맥에 맞게 정확히.
계산 문제는 데이터를 작게, 계산기를 쓸 수 있게, 숫자를 깔끔하게 낸다고 했어요.
상관 ≠ 인과. 관찰연구에서는 인과를 결론내릴 수 없다.

시험 범위 밖으로 표시된 것

최소제곱법의 편미분 유도(프린트에 "For reference only · not covered on the midterm"). 단, 그 과정에서 나오는 결과(Σe = 0, b 공식)는 알아야 해요.
컴퓨터 출력의 S(잔차 표준편차)와 R-Sq(adj)는 프린트에서 ✗ 표시, SE·T·P는 inference에서 다시 배워요.
공분산(covariance)은 개념 소개용이고 시험엔 안 나올 것 같다고 했어요. |r| ≤ 1 증명은 심화 과제.
3장은 수업 녹취 없이 프린트(관찰연구·표본추출) 내용과 9/22 공지를 바탕으로 정리했어요. 공지에서 출제가 확인된 것은 마지막 페이지의 추출법 적용뿐이고, 3장의 나머지 비중은 알려지지 않았어요.

서술형 쓰는 법

답만 쓰지 말고 문맥(context)을 넣은 완성된 영어 문장으로. 예: "The proportion of the variation in test score that is explained by the linear relationship with hours studied is 0.849." 분포 묘사는 중심·퍼짐을 모양에 맞는 짝(skew/이상치 → median·IQR, 대칭 → mean·SD)으로 쓰세요.

사용법

흰 카드가 개념, 보라색 상자(▶)는 풀이 예제예요. 장마다 끝에 연습문제가 있고 정답 보기 → 맞음/틀림을 누르면 점수가 저장돼요. 오른쪽 아래 버튼은 플래시카드, 출제 유형·모의고사는 선생님이 언급한 문제 유형과 연습 시험이고, 맨 아래 검산 도구는 직접 만든 데이터를 넣어 사분위수·상자그림·상관·회귀를 확인하고, 난수표 읽기(③)를 연습하는 계산기예요.

정확한 시험 범위와 형식은 선생님 공지가 우선이에요. 이 페이지는 올려준 수업 자료(프린트 Chap 1~3, 수업 녹취)를 바탕으로 만들었습니다.

1 Exploring Univariate Data 일변량(변수 하나) 자료

1.1 기본 용어

용어	뜻	예·메모
Statistics	자료를 모으고·정리하고·분석하고·해석하고·표현하는 학문
Descriptive 기술통계	자료를 요약·표시한다	그래프, 표, 평균, 중앙값 …
Inferential 추론통계	표본으로 모집단에 대한 결론을 끌어낸다	신뢰구간, 가설검정 (2학기)
Categorical (= qualitative)	각 개체가 어느 그룹·범주에 속하는지	혈액형, MBTI, 성별
Numerical (= quantitative)	측정된 수치. 평균·표준편차를 구할 수 있다	discrete(셀 수 있음: 하루에 먹는 귤 개수) · continuous(연속: 키, 시간)
Univariate / Bivariate	개체당 변수 1개 / 2개	수학 점수만 / 수학·영어 점수 쌍
Population / Sample	알고 싶은 전체 집단 / 그중 뽑은 부분집합	전교생 / AP 통계 수강생
Parameter / Statistic	모집단을 요약하는 수 / 표본을 요약하는 수	μ, σ, p vs x, s, p̂
Distribution	변수가 가질 수 있는 값과 각 값이 얼마나 자주 나오는지(수학적으로는 함수)	히스토그램은 분포를 나타내는 한 방법

모집단 전체(parameter)는 알기 어려우니 표본을 뽑아 statistic을 구하고, 그것으로 parameter를 추정한다. 이것이 inferential statistics.

parameter는 변하지 않지만 보통 모른다. statistic은 표본을 뽑을 때마다 달라진다. 그래서 statistic으로 parameter를 추정(inference)한다.
우리가 실제로 접하는 값은 거의 다 statistic이에요.

확인 문제: 용어 구분 3개

(a) 한국 성인 2,500명 조사에서 "62%가 온라인 뉴스를 선호" → statistic (표본에서 나온 값)

(b) 학생별로 ① 학년 ② 키 ③ 안경 착용 여부 ④ 작년 결석 일수를 기록 → 범주형은 ①, ③으로 2개 (②는 continuous, ④는 discrete인 수치형)

(c) "유권자 800명 조사에서 54%가 새 교육정책을 지지" → population = 모든 유권자, sample = 조사한 800명, parameter = 전체 유권자 중 지지하는 비율 p(모름), statistic = 0.54

1.2 범주형 자료 표현

범주형 자료는 평균 같은 대표 숫자를 못 구해서, 거의 표시(display)만 합니다. 순서는 보통 frequency table → relative frequency table → 그래프.

Bar graph: 범주별 막대. 막대 사이를 띄운다(붙이면 히스토그램). 가로축에 범주 이름을 꼭 쓴다.
Dot plot: 개수만큼 점을 쌓는다. Pie chart: 비율을 한눈에, 각 부분의 중심각을 함께 쓴다(상대도수 × 360°).
Relative frequency = 도수 ÷ 전체. 합이 1(또는 30/30)이 되는지 꼭 검산한다.

예: 30명에게 "좋아하는 과목은?"

Subject	Frequency	Relative frequency	Pie 중심각
Math	9	9/30 = 0.30	108°
English	6	6/30 = 0.20	72°
Science	7	7/30 ≈ 0.233	84°
History	4	4/30 ≈ 0.133	48°
Art	4	4/30 ≈ 0.133	48°
합계	30	1	360°

Bar graph: 범주마다 막대를 세우고, 막대 사이를 띄운다(붙이면 히스토그램).

Pie chart: 각 부분의 중심각 = 상대도수 × 360°. 합은 360°.

감 잡기

Math + English = 15명으로 정확히 절반이라 중심각이 108° + 72° = 180°(반원)이 돼요. 합이 맞는지 이런 식으로 검산하세요.

1.3 수치형 자료 표현

그래프	언제 쓰나	주의
Dot plot	작은 자료, discrete 값	continuous(소수 둘째 자리 등)에는 부적합
Stem-and-leaf	작은~중간 자료	leaf는 숫자 1개(소수점 leaf 금지). 반드시 key를 쓴다
Histogram	크기와 상관없이 가장 많이 사용	계급(class) 폭은 같게, 막대 사이를 붙인다. 경계는 "이상 ~ 미만"처럼 명시
Boxplot	그룹 비교, five-number summary	1.8절

Dot plot · AP 점수 10명

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5

Dot plot: 값마다 점을 쌓는다. 범주형·수치형 모두 가능하지만, 작은 자료·discrete 값에 쓴다.

Stem-and-leaf · 폰 사용 시간(분)

122, 131, 134, 136, 143, 148, 152, 164, 167, 169, 169, 174, 120, 150 (14명)

12 | 0 2 13 | 1 4 6 14 | 3 8 15 | 0 2 16 | 4 7 9 9 17 | 4 Key: 12 | 0 = 120 minutes

줄기(앞자리)와 leaf(끝 한 자리)를 나누고, key로 뜻을 꼭 적어요. 자료의 범위(range)가 크면 stem-and-leaf나 dot plot보다 histogram이 낫습니다.

Histogram · 하루 공부 시간 24명

1.5, 2.1, 3.9, 2.8, 6.5, 4.0, 3.2, 6.8, 4.4, 3.9, 1.9, 5.0, 5.8, 5.7, 4.2, 1.2, 4.6, 4.0, 3.3, 2.6, 3.5, 3.1, 2.4, 3.5 (시간)

Class (이상 ~ 미만)	1~2	2~3	3~4	4~5	5~6	6~7	합
Frequency	3	4	7	5	3	2	24
Relative frequency	1/8	1/6	7/24	5/24	1/8	1/12	1
Cumulative frequency	3	7	14	19	22	24	24

4.0과 5.0처럼 경계에 걸린 값은 "이상 ~ 미만" 규칙 때문에 각각 [4,5), [5,6)에 들어가요. 규칙이 바뀌면 도수도 바뀌니 시험에서는 경계 규칙을 명시하세요.

24명의 하루 공부 시간. 막대 윗변 가운데를 점으로 찍어 이은 선이 frequency polygon(도수분포다각형). 양 끝은 0으로 내린다.

누적도수 히스토그램: 앞 구간까지 계속 더해 쌓는다. 막대가 높은 구간(3~4시간)에서 가장 가파르게 오르고, 마지막 값은 전체 n = 24.

Frequency polygon(도수분포다각형): 막대 윗변의 가운데를 점으로 찍어 이은 꺾은선. 양 끝은 0으로 내린다. 데이터가 많아지고 계급이 촘촘해지면 분포 곡선에 가까워진다.
Cumulative frequency: 앞 구간부터 계속 더한 도수. 마지막 값 = 전체 n. 누적 히스토그램은 막대가 높은 구간에서 가파르게, 낮은 구간에서 완만하게 올라간다.
히스토그램은 그리는 것보다 보고 해석하는 것이 AP에서 중요하다고 했어요.

예제: 히스토그램 계급 폭을 $200 → $100으로 줄이면 반드시 그대로인 것은? (학생 30명)

(a) 막대 높이: 구간이 좁아져 도수가 나뉘므로 변한다. (b) 막대 너비: 절반으로 변한다. (c) 도수의 합 = 전체 학생 수 30은 그대로. (d) 모양: 구간을 바꾸면 달라질 수 있다. → 정답 (c)

1.4 SOCS와 분포 모양

수치형 분포를 묘사할 때 반드시 다룰 4가지

Shape(모양) · Outliers(이상치) · Center(중심) · Spread(퍼짐). AP에서 이 네 가지를 기준으로 채점해요.

Symmetric · bell-shaped
좌우가 거의 거울상. 봉우리 하나에 꼬리가 완만하면 bell-shaped(정규분포 모양)

Symmetric · bimodal
봉우리 두 개(예: 남녀 키를 합친 자료). 이것도 좌우대칭

Skewed to the right
긴 꼬리가 오른쪽(= positively skewed). 값은 대부분 왼쪽에

Skewed to the left
긴 꼬리가 왼쪽(= negatively skewed). 값은 대부분 오른쪽에

Uniform
히스토그램이 수평. 주사위·동전처럼 인위적 자료

Cluster · gap · outlier
덩어리(cluster), 빈 구간(gap), 동떨어진 값(outlier)

Shape	설명	실제 예
Symmetric	좌우가 거의 거울상 (봉우리 1개든 2개든)
Skewed to the right (positively skewed)	긴 꼬리가 오른쪽, 대부분의 값은 왼쪽에	월급·소득, 어려운 시험 점수
Skewed to the left (negatively skewed)	긴 꼬리가 왼쪽, 대부분의 값은 오른쪽에	쉬운 시험 점수, 은퇴 나이
Bell-shaped	symmetric + unimodal, 꼬리가 완만하게 줄어듦 (정규분포)	키·몸무게(성별 따로), 지능
Uniform	히스토그램이 수평	주사위, 동전 — 인위적 자료. 자연 자료에는 거의 없음
Unimodal / Bimodal / Multimodal	봉우리(mode)가 1개 / 2개 / 3개 이상	남녀 키를 합치면 bimodal
Cluster · Gap	덩어리로 모인 값 · 값이 (거의) 없는 구간	gap은 cluster 사이, 이상치 주변에 생김

꼬리 방향으로 이름 붙이기

우리말로는 "몰려 있는 쪽"으로 치우쳤다고 하지만, 영어로는 꼬리가 있는 쪽으로 이름을 붙여요. 꼬리가 오른쪽이면 skewed to the right(수직선에서 양수 쪽이라 positively skewed).

Outlier는 전체 패턴에서 한참 벗어난 값이에요. 딱 정해진 규칙은 없고 상황에 따라 판단하되, 상자그림에서는 1.5×IQR 규칙을 씁니다(1.8절). 그래프에서 혼자 동떨어진 점은 이상치, 봉우리가 두 개면 이상치가 아니라 bimodal이에요.

AP 서술 틀 (English)

"The distribution of [variable in context] is [skewed to the right / roughly symmetric / …] and [unimodal / bimodal], with [no outliers / an outlier at …]. The center is about [median or mean] [units], and the data vary from [min] to [max] (IQR = …)."

중심과 퍼짐은 짝으로: 한쪽으로 치우치거나 이상치가 있으면 median + IQR, 대칭이면 mean + SD.

예제: 휴대폰 사용 시간 14명(3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 31)을 SOCS로 묘사

"The distribution of weekly phone-use hours for the 14 students is skewed to the right and unimodal, with one outlier at 31 hours. The median is 10.5 hours and the data vary from 3 to 31 hours with an IQR of 8 hours."

이상치 판별(31 > 27)은 1.8절 상자그림에서 확인해요.

1.5 중심 측도 (Center)

중심은 분포를 대표하는 "전형적인" 값 하나. 기호 Σ는 합: Σ_i=1ⁿ x_i = x₁ + x₂ + … + x_n

측도	정의	특징·언제 쓰나
Mean x	x₁ + x₂ + … + x_nn = Σ x_in (sample mean)	모든 값을 사용. 이상치·skew에 약함. 대칭 자료에 적합
Median	크기순 정렬 후 가운데 값. n 홀수: (n+1)/2번째 n 짝수: n/2번째와 n/2+1번째의 평균	순서만 쓰므로 이상치에 강함(resistant). skew·이상치 있는 자료에 적합
Mode	가장 자주 나오는 값	범주형·값의 종류가 적은 discrete 자료. continuous에서는 의미가 약함

오른쪽으로 치우침: Mode < Median < Mean (꼬리가 평균을 오른쪽으로 끌어당김)

왼쪽으로 치우침: Mean < Median < Mode (평균이 꼬리 쪽으로 끌려감)

오른쪽 skew: 보통 mean > median (꼬리의 큰 값이 평균을 끌어올림). 왼쪽 skew: 보통 mean < median.
"보통"이에요. 꼬리가 아주 두껍거나 한쪽으로 크게 치우친 경우엔 반대일 수도 있어요.
시험 보고 나서 선생님께 중앙값을 묻는 이유: 내가 중간보다 잘했는지 알려고. 평균과 중앙값 차이가 크면 skew가 있다는 신호.

예제: 이상치 31을 빼면 mean과 median은 얼마나 변하나? (14명 폰 사용 시간)

31 포함: mean = 167/14 ≈ 11.93, median = (10 + 11)/2 = 10.5.
31 제외(13명): mean ≈ 10.46, median = 10.

mean은 약 1.47 변하고 median은 0.5만 변해요 → median이 resistant.

정리

이상치·skew → median(+IQR)이 대표값으로 좋고, 대칭이면 mean(+SD). 평균 연봉 뉴스에 사람들이 화내는 이유도 소수의 큰 값이 평균을 끌어올리는 right skew 때문이에요.

1.6 위치 측도 (Measures of position)

어떤 값이 분포 안에서 다른 값들에 비해 어디쯤 있는지 말해 주는 측도. 퍼짐을 알려면 먼저 위치를 알아야 해요.

측도	뜻
Simple ranking	작은 값부터 순서를 매긴 등수(통계에서는 작은 값이 1). "4명 중 3등"처럼 전체 크기를 모르면 의미가 없다. 예: 72, 85, 91, 68, 77, 83, 90, 65, 88, 74에서 91은 rank 10, 77은 rank 5
Percentile	p번째 백분위수 = 그 값 아래에 관측값의 p%가 있는 값. 계산은 자료 수에 따라 복잡해서 문제로는 거의 안 나오고 뜻만 알면 돼요
Quartile	Q₁ = 25번째, Q₂ = 50번째(= median), Q₃ = 75번째 백분위수. 항상 Q₁ ≤ Q₂ ≤ Q₃
z-score	x − xs = 평균에서 표준편차 몇 칸 떨어졌나(+ 위, − 아래)

AP 방식으로 사분위수 구하기

자료를 크기순으로 나열한다.
중앙값 Q₂를 구하고, 이것으로 아래 절반 / 위 절반으로 나눈다.
Q₁ = 아래 절반의 중앙값, Q₃ = 위 절반의 중앙값. n이 홀수면 중앙값은 양쪽 절반에 넣지 않는다.

n = 11 (홀수)

5461677073|78|8084889195

Q₂ = 78 (6번째). 아래 5개 {54, 61, 67, 70, 73}의 중앙값 Q₁ = 67, 위 5개 {80, 84, 88, 91, 95}의 중앙값 Q₃ = 88.

n = 12 (짝수)

566777.5|88899.510

Q₂ = (7.5 + 8)/2 = 7.75. 아래 6개의 중앙값 Q₁ = (6 + 7)/2 = 6.5, 위 6개의 중앙값 Q₃ = (8 + 9)/2 = 8.5.

컴퓨터 함수와 다를 수 있어요

엑셀·파이썬의 quartile 함수는 경계를 포함하는 방식이 달라서 같은 자료에서도 값이 다르게 나올 수 있어요. 시험에서는 위의 AP 방식으로 통일합니다(Q₁, Q₂, Q₃, min, max 다섯 개는 함수에 의존하지 말고 직접).

z-score 활용

단위와 평균·퍼짐이 다른 두 시험을 비교할 때 "평균에서 몇 SD 떨어졌나"가 중요해요. 같은 85점이어도 평균이 낮고 SD가 작은 쪽이 훨씬 잘한 거예요.

예제: 시험 A(평균 70, SD 10)에서 85점, 시험 B(평균 60, SD 5)에서 72점. 어느 쪽을 더 잘 봤나?

z_A = (85 − 70)/10 = 1.5, z_B = (72 − 60)/5 = 2.4. 시험 B가 평균에서 더 많은 SD만큼 위에 있어 상대적으로 더 잘 본 거예요(정규분포라면 z = 2는 상위 약 2.5%).

1.7 퍼짐 측도 (Spread)

측도	식	메모
Range	max − min	이상치에 민감
Variance (분산)	sample: s² = Σ(x_i − x)²n − 1 population: σ² = Σ(x_i − μ)²n	편차 제곱의 (거의) 평균. AP에서는 대부분 sample(n−1)
Standard deviation	s = √(s²), σ = √(σ²)	variance의 제곱근. 원래 자료와 같은 단위
IQR	Q₃ − Q₁	상자의 길이. 이상치에 강함. 상자그림의 이상치 판별 기준

왜 n−1로 나누나

자료가 모집단 전체(μ를 아는 경우)일 때만 n으로 나누고, 표본이면 n−1로 나눠야 모분산을 더 잘 추정해요(오차가 적음). n이 크면 거의 차이가 없고 작을 때 크게 달라져요. 자유도(degrees of freedom)와 관련 있고 sampling distribution에서 다시 다뤄요. 기호도 parameter는 σ, statistic은 s로 구분합니다.

예제: Super Bowl 우승 점수 차 26경기 (손으로 풀이)

25, 19, 9, 16, 3, 21, 17, 10, 4, 17, 12, 5, 29, 4, 13, 35, 17, 23, 14, 17, 7, 27, 3, 11, 12, 4

정렬: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 16, 17, 17, 17, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 35 (n = 26)

값	구하는 법	결과
Median (= Q₂)	13번째 13과 14번째 14의 평균	13.5
Mean	합 374 ÷ 26	≈ 14.38
Q₁ / Q₃	아래 13개의 중앙값(7번째) / 위 13개의 중앙값(7번째)	7 / 19
IQR · Range	19 − 7 · 35 − 3	12 · 32
Variance s²	Σ(x − x̄)² ≈ 1878.15 ÷ (26 − 1)	≈ 75.13
SD s	√75.13	≈ 8.67

이상치 확인: 울타리는 7 − 1.5·12 = −11, 19 + 1.5·12 = 37 → 최댓값 35는 이상치가 아니에요. (population variance는 1878.15 ÷ 26 ≈ 72.24로 더 작아요.)

시험 팁

큰 자료는 엑셀(VAR.S 표본, VAR.P 모집단, STDEV.S)을 쓰지만, 시험에서는 데이터가 작고 계산기를 쓸 수 있게 낸다고 했어요. 편차 → 제곱 → 합을 표로 정리하면 실수가 줄어요. 그리고 기억 못 할 때를 대비해 평균 편차 합은 항상 0인지 검산하세요.

1.8 상자그림 (Boxplot)

Five-number summary

Min · Q₁ · Q₂(median) · Q₃ · Max. 이 다섯 숫자로 분포를 표현하고 그룹끼리 비교하기 좋아요.

Five-number summary를 구한다(AP 방식 사분위수).
IQR = Q₃ − Q₁, 울타리: Lower fence = Q₁ − 1.5·IQR, Upper fence = Q₃ + 1.5·IQR.
울타리 밖의 값은 outlier.
상자(Q₁~Q₃)에 Q₂ 세로선을 긋고, 수염(whisker)은 이상치를 제외한 최솟값·최댓값까지 뻗는다.
이상치는 수염 밖에 점으로 따로 찍는다.

예제: 14명의 지난주 폰 사용 시간 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 31

Five-number summary: 3, 7, 10.5, 15, 31 (Q₁ = 아래 7개의 중앙값 7, Q₃ = 위 7개의 중앙값 15) → IQR = 8.

Lower fence = 7 − 12 = −5, Upper fence = 15 + 12 = 27 → 31 > 27이므로 31은 outlier. 수염은 3 ~ 19(이상치를 뺀 최댓값).

수염은 이상치(31)를 제외한 최댓값 19까지만 그리고, 31은 점으로 따로 찍는다. 울타리: Q₁ − 1.5·IQR = −5, Q₃ + 1.5·IQR = 27.

min/max를 헷갈리지 마세요

이상치가 있어도 five-number summary 값 자체는 안 바뀌어요(Max는 여전히 31). 상자그림을 그릴 때만 수염 끝이 19가 돼요. 문제는 보통 아래·위에서 작은 수 5개·큰 수 5개 같은 식으로 min/max를 여러 개 줘서, 이상치와 구분할 수 있는지 시험해요.

수염(whisker)이 긴 쪽이 꼬리 방향. 오른쪽 꼬리는 median이 Q₁ 쪽에 붙고, 왼쪽 꼬리는 Q₃ 쪽에 붙는다. 상자 길이 = IQR.

상자 안은 데이터의 25%씩 4구간 → 상자 길이가 IQR. 긴 쪽 수염이 꼬리 방향.
상자그림에서 이상치·skew는 보이지만 봉우리 개수(bimodal)는 보이지 않아요(히스토그램이 필요).

1.9 정규분포와 경험적 규칙

Normal distribution

연속적이고 대칭인 종 모양 분포로, 평균(μ)과 표준편차(σ) 두 숫자만 알면 모양이 완전히 정해져요. 자연에서 나온 키·몸무게·시간 같은 continuous 자료에 많이 나타나요.

평균만 다름 (σ는 같음): 모양은 같고 위치만 이동. 평균이 곡선의 위치를 정한다.

평균과 SD가 모두 다름: SD가 큰 곡선(σ₁ > σ₂)이 더 넓고 낮다. SD가 폭(퍼짐)을 정한다.

평균이 곡선의 위치(중심)를 정하고, 표준편차가 폭(퍼짐)을 정한다. σ가 크면 넓고 낮은 곡선.

Empirical rule (68–95–99.7)

정규분포는 평균을 중심으로 좌우대칭인 종 모양. ±1SD 안에 약 68%, ±2SD 안에 약 95%, ±3SD 안에 약 99.7%. 각 구간의 면적은 34% · 13.5% · 2.35% · 0.15%.

어떤 정규분포든 평균에서 ±1σ 안에 약 68%, ±2σ 안에 약 95%, ±3σ 안에 약 99.7% (정확히가 아니라 대략).
평균 + 2σ 점수는 양쪽 꼬리 각 2.5% 중 위쪽 → 상위 약 2.5%.
종 모양 자료에서는 거의 전부(99.7%)가 ±3σ 안에 있으므로 range ≈ 6σ. 예: 최소 10, 최대 100이면 σ ≈ 90/6 = 15.

예제: 수학 시험 점수가 정규분포 μ = 75, σ = 8 (a) 67~83 (b) 59~91 (c) 91 초과의 백분율

그림 위에 51, 59, 67, 75, 83, 91, 99를 써 놓고 σ 단위로 환산하면 쉬워요.

67 = 75−8, 83 = 75+8 → ±1SD → 약 68%

59 = 75−16, 91 = 75+16 → ±2SD → 약 95%

±2SD 밖은 100−95 = 5%, 양쪽 대칭이라 한쪽은 2.5%

(a) 67 = μ − σ, 83 = μ + σ → 68% (b) 59 = μ − 2σ, 91 = μ + 2σ → 95% (c) 91 초과: (100 − 95)/2 = 2.5%

1장 연습문제

한국 성인 2,500명을 조사해 "62%가 온라인 뉴스를 선호한다"고 했다. 이 62%는 parameter인가 statistic인가? 이 조사가 알고 싶은 모집단과 parameter는 무엇인가?

statistic(표본에서 계산한 값). 모집단 = 한국 성인 전체, parameter = 한국 성인 전체 중 온라인 뉴스를 선호하는 비율 p(보통 모른다). 표본은 조사한 2,500명.

한 학생에 대해 ① 학년 ② 키 ③ 안경 착용 여부 ④ 작년 결석 일수를 기록했다. 범주형 변수는 몇 개이고, 수치형 변수는 discrete인가 continuous인가?

범주형은 ①, ③ → 2개. ② 키는 continuous, ④ 결석 일수는 셀 수 있으니 discrete.

30명이 쓴 항공권 가격 히스토그램의 계급 폭을 $200에서 $100으로 줄였다. (a) 막대 높이 (b) 막대 너비 (c) 도수의 합 (d) 분포의 모양 중 반드시 그대로인 것은?

(c). 도수의 합은 학생 수 30으로 그대로. 높이·너비는 변하고, 모양은 달라질 수 있다.

폰 사용 시간(분) 122, 131, 134, 136, 143, 148, 152, 164, 167, 169, 169, 174, 120, 150의 stem-and-leaf plot을 그리고 key를 쓰시오.

정렬 후 줄기(앞 두 자리)와 leaf(끝 한 자리):

12 | 0 2 13 | 1 4 6 14 | 3 8 15 | 0 2 16 | 4 7 9 9 17 | 4 Key: 12 | 0 = 120 minutes

leaf 개수의 합 2+3+2+2+4+1 = 14 ✓

하루 공부 시간 24개(1.5, 2.1, 3.9, 2.8, 6.5, 4.0, 3.2, 6.8, 4.4, 3.9, 1.9, 5.0, 5.8, 5.7, 4.2, 1.2, 4.6, 4.0, 3.3, 2.6, 3.5, 3.1, 2.4, 3.5)를 폭 1인 계급(이상~미만)으로 나눠 frequency, relative frequency, cumulative frequency를 쓰고, 4시간 미만인 학생 수와 5시간 이상인 학생 수를 구하시오.

Class	1~2	2~3	3~4	4~5	5~6	6~7
f	3	4	7	5	3	2
rel	1/8	1/6	7/24	5/24	1/8	1/12
cum	3	7	14	19	22	24

4시간 미만 = 누적 14명(14/24 ≈ 58.3%), 5시간 이상 = 24 − 19 = 5명(5/24 ≈ 20.8%).

한 회사 직원 연봉 분포가 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진다. mean과 median 중 어느 쪽이 더 크고, 대표값으로는 무엇이 더 적절한가?

mean > median(꼬리의 큰 값이 평균을 끌어올림). 이상치·skew에 강한 median(+ IQR)이 대표값으로 더 적절하다.

다음 두 자료의 Q₁, Q₂, Q₃를 AP 방식으로 구하시오.
(1) 54, 61, 67, 70, 73, 78, 80, 84, 88, 91, 95 (2) 5, 6, 6, 7, 7, 7.5, 8, 8, 8, 9, 9.5, 10

(1) n = 11, Q₂ = 78(6번째). 아래 5개 {54, 61, 67, 70, 73}의 중앙값 Q₁ = 67, 위 5개 {80, 84, 88, 91, 95}의 중앙값 Q₃ = 88.
(2) n = 12, Q₂ = (7.5 + 8)/2 = 7.75, 아래 6개의 중앙값 Q₁ = (6 + 7)/2 = 6.5, 위 6개의 중앙값 Q₃ = (8 + 9)/2 = 8.5.

14명의 폰 사용 시간 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 31로 five-number summary를 구하고 이상치를 판별해 상자그림을 설명하시오.

five-number summary 3, 7, 10.5, 15, 31, IQR = 8. 울타리: 7 − 12 = −5, 15 + 12 = 27. 31 > 27이므로 31은 outlier. 상자는 7~15, 중앙선 10.5, 수염은 3 ~ 19(이상치를 뺀 최댓값), 31은 점으로. (five-number summary의 max는 그대로 31)

Super Bowl 우승 점수 차 26경기(25, 19, 9, 16, 3, 21, 17, 10, 4, 17, 12, 5, 29, 4, 13, 35, 17, 23, 14, 17, 7, 27, 3, 11, 12, 4)의 median, mean, Q₁, Q₃, IQR, range, 표본분산을 구하시오. 이상치가 있나?

정렬 후 13·14번째 13, 14 → median 13.5, mean ≈ 14.38(합 374/26), Q₁ = 7, Q₃ = 19(각 절반 13개의 7번째), IQR = 12, range = 35 − 3 = 32, s² = 1878.15/25 ≈ 75.13(s ≈ 8.67). 울타리 −11, 37 → 35는 이상치가 아니다.

시험 A(평균 70, SD 10)에서 85점, 시험 B(평균 60, SD 5)에서 72점을 받았다. 상대적으로 어느 시험을 더 잘 봤나?

z_A = (85 − 70)/10 = 1.5, z_B = (72 − 60)/5 = 2.4. 평균에서 더 많은 SD만큼 위에 있는 시험 B.

수학 시험 점수가 정규분포(μ = 75, σ = 8)를 따른다. (a) 67~83점 (b) 59~91점 (c) 91점 초과인 학생의 비율은?

경험적 규칙: (a) ±1σ → 68% (b) ±2σ → 95% (c) ±2σ 밖 5%의 절반 → 2.5%.

종 모양 분포의 자료에서 최솟값이 10, 최댓값이 100이다. 표준편차를 대략 추정하시오.

거의 모든 값(99.7%)이 ±3σ 안이므로 range ≈ 6σ. σ ≈ 90/6 = 15.

자료 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 31에서 31을 빼면 mean과 median은 각각 얼마나 변하나? 어느 것이 resistant한가?

mean: 167/14 ≈ 11.93 → 136/13 ≈ 10.46 (약 −1.47). median: 10.5 → 10 (−0.5). 변화가 작은 median이 resistant.

다음 변수의 분포 모양을 고르시오(skewed right / skewed left / bell-shaped / uniform / bimodal): (a) 주사위 던진 눈 (b) 가구 소득 (c) 은퇴 나이 (d) 남녀 학생 키를 합친 자료 (e) 매우 쉬운 시험의 점수

(a) uniform (b) skewed right (c) skewed left (은퇴는 60대에 몰리고 일찍 은퇴하는 소수가 왼쪽 꼬리) (d) bimodal (e) skewed left (대부분 높은 점수, 소수만 낮음).

분산·표준편차 계산: 자료 2, 4, 6, 8의 표본분산 s², 표본 표준편차 s, 모분산 σ²을 구하시오.

x̄ = 5, 편차 −3, −1, 1, 3 → 제곱 9, 1, 1, 9, 합 20. s² = 20/3 ≈ 6.67, s ≈ 2.58. 모분산(이 4개가 모집단 전체라면) σ² = 20/4 = 5(σ ≈ 2.24). 표본분산이 더 크다.

폰 사용 시간 14명(3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 31)의 분포를 SOCS로 영어로 묘사하시오.

"The distribution of weekly phone-use hours is skewed to the right and unimodal, with one outlier at 31 hours. The median is 10.5 hours, and the data vary from 3 to 31 hours with an IQR of 8 hours." (skew·이상치가 있으므로 mean·SD가 아니라 median·IQR로 중심·퍼짐을 쓴다)

2 Exploring Bivariate Data 이변량(변수 둘) 자료

2.1 이원표와 marginal · conditional 분포

두 변수가 모두 범주형이면 개수를 two-way table(= contingency table)로 정리해요. 예: 국제학교 학생 200명에게 ① 학년(10/11/12th) ② 공부 선호(Alone / With others / No preference)를 물었다.

	Alone	With others	No preference	Total
10th	28	22	15	65
11th	30	25	10	65
12th	35	18	17	70
Total	93	65	42	200

Marginal distribution (가장자리 분포)

두 변수 중 하나를 완전히 무시하고 다른 변수만 본 분포. 표의 가장자리(합계)에 있는 수.

학년: 65/200, 65/200, 70/200 (32.5%, 32.5%, 35%)
선호: 93/200 (46.5%), 65/200 (32.5%), 42/200 (21%)

Conditional distribution (조건부 분포)

한 변수의 분포를 다른 변수의 특정 범주로 제한해서 본 것. conditional relative frequency = 칸 ÷ 그 행(또는 열)의 합.

12th 중에서: Alone 35/70 = 50%
Alone 중에서: 10th 28/93, 11th 30/93, 12th 35/93

학년별 선호 (행 기준 conditional)	Alone	With others	No preference	합
10th	28/65 = 43.1%	33.8%	23.1%	100%
11th	30/65 = 46.2%	38.5%	15.4%	100%
12th	35/70 = 50.0%	25.7%	24.3%	100%
전체 (marginal)	93/200 = 46.5%	32.5%	21.0%	100%

12학년 중 혼자 공부를 선호하는 비율(50%)은 전체 비율(46.5%)과 조금 다르다(약 3.5%p 높다). 그룹별 conditional과 전체 marginal을 비교해서 관계를 판단하는 방식이에요.

조건부가 아닌 것

칸 ÷ 전체(예: 28/200)는 conditional이 아니라 joint relative frequency, 한 변수의 합계 ÷ 전체(93/200)는 marginal relative frequency예요. 분모가 "어떤 조건의 사람 수"인지 확인하세요.

두 범주형 변수를 그림으로: 세그먼티드 vs 나란한 막대

Segmented bar chart: 각 막대가 한 그룹의 conditional distribution이고 높이는 모두 100%. 그룹 간 비율 비교에 좋지만 학생 수(count)는 알 수 없다.

Side-by-side bar chart: 개수를 나란히 놓는다. 정확한 수는 읽히지만 분포(비율)의 차이는 눈에 잘 안 들어온다.

	Segmented bar chart	Side-by-side bar chart
나타내는 것	한 변수의 conditional distribution을 다른 변수의 범주마다 막대 하나로 (모두 100%)	한 변수의 범주별 개수를 다른 변수로 묶어 나란히
장점	분포(비율)의 차이를 비교하기 좋음	정확한 개수를 알 수 있음
한계	전체 개수는 알 수 없다 (비율 차트)	그룹 크기가 다르면 분포 차이가 눈에 안 띔

연관성(association) 판단

각 그룹의 conditional distribution을 비교해요. 거의 같으면 두 변수는 (거의) 관계가 없고, 뚜렷이 다르면 관계가 있어요(한 변수가 다른 변수의 분포에 영향). 그림으로는 세그먼티드 막대의 칸 비율이 막대마다 비슷한지 보면 됩니다.

2.2 심프슨의 역설 (Simpson's paradox)

정의

여러 그룹에서 각각 나타나던 경향이 그룹을 합치면 사라지거나 반대로 뒤집히는 현상. 원인은 보통 숨은 제3의 변수(confounding variable)를 고려하지 않고 합치는 것, 그리고 그룹 크기가 서로 다르다는 점이에요.

예 1: 두 병원의 생존율

	Good: 생존	Good: 사망	Poor: 생존	Poor: 사망	합친 생존/사망
Hospital A	590	10	210	190	800 / 200
Hospital B	870	30	30	70	900 / 100

각 조건에서는 A가 더 낫지만, 합치면 B가 더 낫다. B가 상태 좋은 환자(900명)를 훨씬 많이 받았기 때문 — 환자의 상태가 숨은 변수(confounding variable).

상태가 좋은 환자: 생존율 A 590/600 = 98.3% > B 870/900 = 96.7% → A가 낫다.
상태가 나쁜 환자: A 210/400 = 52.5% > B 30/100 = 30% → A가 낫다.
합치면: A 800/1000 = 80% < B 900/1000 = 90% → B가 낫다? 사망률도 A 20%, B 10%. B에는 상태가 좋은 환자가 훨씬 많이(900명) 가서 합치면 B가 부풀려져 보여요.

예 2: UC 버클리 입학 (1973)

전체로 보면 남성 2691명 중 45%, 여성 1835명 중 30%가 합격해 성차별 의혹이 일었는데, 학과별로 보니 달랐어요.

학과	남 지원자	남 합격률	여 지원자	여 합격률	더 높은 쪽
A	825	62%	108	82%	여
B	560	63%	25	68%	여
C	325	37%	593	34%	남
D	417	33%	375	35%	여
E	191	28%	393	24%	남
F	373	6%	341	7%	여
전체	2691	45%	1835	30%	남

여성 지원자는 합격률이 낮은 학과(C~F)에 많이 몰리고, 남성은 합격률이 높은 A·B에 많이 몰렸다. 학과(숨은 변수)를 무시하고 합치면 결과가 뒤집힌다.

A·B·D·F의 네 학과에서 여성 합격률이 더 높은데, 전체는 남성이 높다.
이유: 남성은 합격률 높은 A·B에 많이 지원했고, 여성은 합격률이 낮은 학과(C~F)에 많이 지원했다. 학과(숨은 변수)를 무시하고 합친 것.

직접 만들어 보기

한쪽 그룹(예: 쉬운 환자)이 한 병원에 몰리게 하고, 그룹 안에서는 A가 조금씩 낫게 숫자를 잡으면 만들어져요. "어떤 카테고리가 많으면 합쳐지면서 그쪽이 부풀려진다"를 기억하세요.

2.3 두 수치형 변수: 산점도 (Scatterplot)

두 수치형 변수가 함께 움직이는지를 볼 때 네 가지를 물어요.

관계가 있나? 2. 있다면 방향은? 3. 얼마나 강한가?(직선에 얼마나 붙어 있나) 4. 어떤 함수로 나타낼 수 있나?

점 하나 = 개체 하나. 가로축 = explanatory variable(설명변수, x), 세로축 = response variable(반응변수, y).
산점도는 두 수치형 변수를 그리는 거의 유일한 표준 그래프예요. 패턴·경향·관계·이상치를 한눈에 본다.

FODUS — 산점도 묘사 5요소

F · Form	전체 패턴: linear / nonlinear
O · Outliers	전체 패턴에서 이상할 정도로 떨어진 점 (있으면 선형 근사를 왜곡하므로 꼭 언급)
D · Direction	positive / negative association
U · Unusual feature	no relationship / cluster, gap, change in pattern
S · Strength	점들이 전체 패턴을 얼마나 가깝게 따르나: strong / moderate / weak

책에 따라 일부 항목을 합쳐 4글자로 쓰기도 해서, 수업에서는 외우기 쉽게 FODUS로 정리했어요.

Form linear · Direction positive · Strength strong

linear · negative · moderate · Outlier(주황) 하나

Unusual feature: no relationship (패턴 없음)

Form: nonlinear (곡선 패턴)

Unusual feature: 두 cluster와 그 사이의 gap

Unusual feature: change in pattern (중간에 패턴이 바뀜)

AP 서술 틀 (English)

"The scatterplot shows a [weak / moderate / strong], [positive / negative], [linear / nonlinear] association between X and Y, with [no obvious outliers / one apparent outlier]."

예: 점들이 오른쪽 아래로 내려가며 대체로 직선 주변에 모여 있고 오른쪽 끝에 점 하나만 위에 떨어져 있다면 → moderate, negative, linear, one apparent outlier. 강도는 눈으로 판단해서 사람마다 다를 수 있어요(다음 절의 r 기준으로 정리).

2.4 상관계수 r (correlation coefficient)

Pearson 상관계수

두 수치형 변수의 선형(linear) 관계의 방향과 강도를 하나의 수로 나타낸 값. 비선형 관계는 잴 수 없어요.

r = 1n − 1 Σ ( x_i − xs_x · y_i − ys_y ) = Σ (x_i − x)(y_i − y)√Σ(x_i − x)² · Σ(y_i − y)²
n: sample size · x_i, y_i: i번째 값 · x, y: 평균 · s_x, s_y: 표본 표준편차 | 둘 다 외우기 (위: 정의, 아래: 계산용)

왜 s로 나누나: 두 변수의 단위·스케일이 다르면(예: AP 점수 1~5 vs 수학 점수 0~100) 편차의 곱이 단위 때문에 커 보이니까 각각 z-score로 표준화해서 곱한 뒤 평균(n−1)을 낸 것.
공분산 s_xy = Σ(x_i − x)(y_i − y)/(n − 1)이면 r = s_xy/(s_xs_y)(시험에는 안 나올 것 같다고 했어요).

r의 성질

성질	내용
범위	−1 ≤ r ≤ 1. r = 1 또는 −1이면 모든 점이 한 직선 위에 있다. 기울기가 크냐 작냐와는 무관(직선에 붙은 정도)
방향	r > 0 positive · r < 0 negative · r = 0은 "선형" 관계가 없다는 뜻(관계가 아예 없다는 뜻이 아님)
대칭	x와 y의 r = y와 x의 r (설명·반응 변수를 바꿔도 같다)
이상치	outlier에 매우 민감하다
선형만	linear association만 잰다
인과 ≠ 상관	Correlation does not imply causation. \|r\|이 크다는 건 둘이 선형으로 함께 움직인다는 것뿐, 이유는 말해 주지 않는다 (예: 불량식품 섭취량과 수학 성적의 음의 상관이 "불량식품 때문에 성적이 떨어진다"는 뜻은 아님)

strong · positive

weak · positive

선형 관계 없음 (구름 모양)

strong · negative

weak · negative

r = 0이어도 뚜렷한 곡선 관계가 있을 수 있다 → r은 선형 관계만 잰다

강도 기준 (AP)

|r| ≥ 0.7(때로 0.8 이상)이면 strong, 0.5 ~ 그 값 사이면 moderate, 0.5보다 작으면 weak으로 봐요. (예: 0.4, 0.3은 weak, 0.5~0.6은 moderate)

예제: (2, 68), (3, 72), (5, 75), (7, 81), (8, 89)의 상관계수

x = 5, y = 77. 편차를 먼저 쓰고 곱·제곱을 열로 정리하면:

x	y	x−x	y−y	곱	(x−x)²	(y−y)²
2	68	−3	−9	27	9	81
3	72	−2	−5	10	4	25
5	75	0	−2	0	0	4
7	81	2	4	8	4	16
8	89	3	12	36	9	144
합				81	26	270

r = 81 / √(26 × 270) = 81 / √7020 = 81 / (6√195) = 27 / (2√195) ≈ 0.967 → strong, positive.

2.5 최소제곱회귀선 (Least-squares regression line)

상관계수는 선형 관계의 강도만 알려주고 예측은 못 해요. 예측(예: 6시간 공부하면 몇 점?)을 하려면 자료에 가장 잘 맞는 직선(1차함수)이 필요해요.

"가장 잘 맞는다"의 뜻

각 점과 직선 사이의 수직 거리의 제곱의 합(SSR)을 최소로 만드는 직선이 LSRL. 관측값과 예측값의 차이를 residual이라 하고, 이 overall prediction error를 최소로 한다.

argmin_a,b Σ (y_i − (a + b x_i))² 절댓값 대신 제곱을 쓰는 이유: 절댓값은 꺾여서 미분(최적화)이 어렵기 때문

ŷ = a + b x b = Σ(x_i − x)(y_i − y)Σ(x_i − x)² = r · s_ys_x a = y − b x
ŷ(y-hat): 예측값 · a: y절편 · b: 기울기 · x: 설명변수 | 항상 b를 먼저 구한 뒤 a를 구한다

직선은 반드시 평균점 (x̄, ȳ)를 지난다. 그래서 기울기 b와 점 하나를 알면 직선이 정해져요: ŷ = b(x − x̄) + ȳ.
잔차의 합은 0: Σ e_i = Σ(y_i − a − b x_i) = 0.
시험에서 r, s_x, s_y, x̄, ȳ만 주고 b, a를 묻거나, 반대로 b, s_x, s_y로 r을 묻기도 해요(b = r·s_y/s_x).

증명: (x̄, ȳ)가 회귀선 위에 있음을 보여라 (프린트 Problem 1)

최소제곱 조건에서 Σ(y_i − a − b x_i) = 0 → Σy_i − na − bΣx_i = 0. 양변을 n으로 나누면 ȳ − a − b x̄ = 0, 즉 ȳ = a + b x̄. 따라서 점 (x̄, ȳ)는 직선 y = a + bx 위에 있고, 같은 식에서 a = ȳ − b x̄도 나온다. ∎

예제: (1,10), (3,9), (5,8), (7,4), (9,3), (11,2)의 최소제곱회귀선

x̄ = 6, ȳ = 6. 편차: x−x̄ = −5, −3, −1, 1, 3, 5 · y−ȳ = 4, 3, 2, −2, −3, −4

Σ(x−x̄)(y−ȳ) = −20 − 9 − 2 − 2 − 9 − 20 = −62, Σ(x−x̄)² = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70

b = −62/70 = −31/35 ≈ −0.886, a = 6 − (−31/35)(6) = 6 + 186/35 = 396/35 ≈ 11.31

ŷ = 396/35 − (31/35)x. 검산: 잔차의 합 = 0.

점선 세로선이 잔차(실제값 − 예측값). 최소제곱법은 이 잔차들의 제곱의 합이 가장 작도록 직선을 고른다. 직선은 항상 평균점 (x̄, ȳ)를 지난다.

예제: r = −0.6, s_x = 4, s_y = 10, x̄ = 20, ȳ = 50일 때 회귀선과 x = 25의 예측값

b = r·s_y/s_x = −0.6 × 10/4 = −1.5, a = ȳ − b x̄ = 50 + 1.5 × 20 = 80 → ŷ = 80 − 1.5x. x = 25 → ŷ = 80 − 37.5 = 42.5.

기울기·절편 해석 (context 필수)

기울기 b: "설명변수가 1 증가할 때마다 반응변수의 예측값은 평균적으로 b만큼 증가(감소)한다." 예: "For each additional hour studied, the predicted test score increases by 3 points, on average."
y절편 a: x = 0일 때의 예측값. 단, x = 0이 자료의 범위 안일 때만 의미가 있다.
Extrapolation(범위 밖 예측) 주의: 자료에서 숙제 완료율이 30%~100%였다면 0%에서의 예측에 이 모델을 쓰는 건 부적절해요(AP 기출).

참고용 · 중간고사 제외

SSR을 f(a, b) = Σ(y_i − a − b x_i)²로 놓고 a, b로 편미분해 0이 되는 곳이 최소(기울기 0)이고, ∂f/∂a = 2Σ(y_i − a − b x_i)(−1) = 0, ∂f/∂b = 2Σ(y_i − a − b x_i)(−x_i) = 0을 연립해요. 이 과정에서 Σe = 0과 b 공식이 나옵니다.

회귀 계산 흐름

① 요약값x̄, ȳ, s_x, s_y, r (또는 편차 표)

② 기울기b = r·s_y/s_x

③ 절편a = ȳ − b x̄

④ 예측·잔차ŷ = a + bx, e = y − ŷ

⑤ 평가잔차도 + r²

2.6 잔차(Residual)와 잔차도

어떤 직선도 실제 자료에 완벽히 맞지 않아요. 직선이 예측한 값과 실제 값의 차이가 residual이에요.

e_i = y_i − ŷ_i = y_i − (a + b x_i) (실제값 − 예측값, 순서 주의)

부호	점의 위치	모델은
e > 0 (positive)	실제값이 직선 위	underestimate (실제보다 낮게 예측)
e < 0 (negative)	실제값이 직선 아래	overestimate (실제보다 높게 예측)
e = 0	점이 직선 위	정확히 예측

잊지 마세요

최소제곱회귀선에서는 잔차의 합이 항상 0이에요(Σe = 0).

Residual plot (잔차도)

가로축에 설명변수 x_i, 세로축에 잔차 e_i를 찍은 산점도. 관측마다 점 하나. 세로축이 원래 y가 아니라 "모델이 얼마나 틀렸는지"를 보여준다.

좋은 잔차도: 0 주위에 패턴 없이 무작위. 선형 모델 적절, 퍼짐도 일정.

곡선(U자) 패턴 → 선형 모델 부적절, 비선형 모델이 더 잘 맞는다.

부채꼴 패턴: x가 커질수록 퍼짐이 커짐 → y의 변동이 일정하지 않다.

좋은 잔차도 = "random noise with no structure": 0 주위에 패턴 없이 흩어짐 → 선형 모델이 적절(linearity 만족)하고, x에 따라 y의 퍼짐이 일정.
뚜렷한 패턴(곡선·U자·부채꼴)이 있으면 선형 모델이 부적절하고 비선형(예: 2차 함수) 모델이 더 잘 맞는다.
회귀를 하면 잔차도는 반드시 그려야 한다고 했어요. 변수가 여럿이면 multiple regression 같은 모델을 쓰게 됩니다.

예제: 공부 시간과 시험 점수 (1,16), (2,14), (3,18), (4,21), (5,23), (6,31)

1) 회귀선: x̄ = 3.5, ȳ = 20.5, Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 52.5, Σ(x−x̄)² = 17.5 → b = 3, a = 20.5 − 3(3.5) = 10 → ŷ = 10 + 3x

x	y	ŷ = 10 + 3x	residual e = y − ŷ
1	16	13	+3
2	14	16	−2
3	18	19	−1
4	21	22	−1
5	23	25	−2
6	31	28	+3
합			0 ✓

직선이 데이터를 대체로 따르는 것처럼 보이고 r² = 0.849로 높다.

잔차: +3, −2, −1, −1, −2, +3 → U자(곡선) 패턴. 잔차도에 패턴이 있으면 선형 모델이 적절치 않다.

4) 잔차도 해석: "The residual plot shows a clear pattern (positive, negative, …, positive), so a nonlinear model would show a better fit to the data than the straight regression line."

5) r²: SSR = 9+4+1+1+4+9 = 28, SST = Σ(y−ȳ)² = 185.5 → r² = 1 − 28/185.5 ≈ 0.849. 다음 절에서 해석 문장을 써요.

2.7 결정계수 r² (coefficient of determination)

잔차가 얼마나 작은지가 모델이 자료에 얼마나 잘 맞는지의 열쇠예요. y의 전체 변동(x를 쓰기 전)과 회귀선을 쓴 뒤 남은 변동(잔차)을 비교해요.

r² = 1 − Σ e_i²Σ (y_i − y)² = 1 − SSRSST
Σe²(SSR): 회귀선을 쓴 뒤 남은 잔차 제곱합 · Σ(y−ȳ)²(SST): x를 전혀 안 썼을 때 y의 총변동

x를 쓰지 않을 때의 오차: 평균 ȳ에서 떨어진 거리의 제곱합 SST = Σ(y−ȳ)² = 185.5

x(회귀선)를 쓴 뒤의 오차: 잔차 제곱합 SSR = Σe² = 28. 그래서 r² = 1 − 28/185.5 ≈ 0.849

r² = (상관계수 r)². 선형 모델이 y의 변동 중 설명하는 비율이에요. 예: r = −0.8 → r² = 0.64 → 64%는 선형 관계로 설명, 나머지 36%는 설명되지 않음.
잔차가 작으면 SSR 작음 → r² 1에 가까움 → 직선이 잘 맞는다. 잔차가 크면 SSR 큼 → r² 0에 가까움 → 잘 안 맞는다.
r² → r: r = ±√(r²), 부호는 기울기의 부호를 따른다(기울기가 양수면 +, 음수면 −).
사회과학에서는 r²가 0.25만 돼도(r = 0.5) 꽤 큰 값으로 쳐요.

AP 서술 틀 (English) — 이 문장은 그대로 쓰세요

r²: "The proportion of the variation in (response variable in context) that is explained by the linear relationship with (explanatory variable in context) is (value of r²)."

slope: "The (response variable in context) increases/decreases by (slope) for each additional 1 (explanatory variable in context)."

감점 포인트

response와 explanatory를 뒤바꿔 쓰기 (예: "숙제 완료율의 변동이 course grade로 설명된다" ✗).
r² 대신 r(0.484 등)을 넣기, "model" 같은 애매한 표현, "linear relationship"을 빼기.
r²가 높아도 잔차도에 패턴이 있으면 선형 모델이 좋은 게 아니다. r² = 0.849인 예제도 잔차도가 U자라서 비선형 모델이 더 낫다. 그래서 둘 다 확인해야 해요.

예제: 앞 예제의 r² 해석 문장

"About 84.9% of the variation in test score is explained by the linear relationship with hours studied. However, the residual plot shows a clear pattern, so a nonlinear model would be better."

2.8 이상치 · 레버리지 · 영향점

(Regression) outlier	High leverage	Influential point
전체 경향에서 벗어난 점 = 잔차가 큰 점 (y 방향으로 멀다)	x값이 x̄에서 멀리 떨어진 점 (y값은 상관없음). 지렛대처럼 선에 영향을 줄 수 있다	그 점을 빼거나 더하면 회귀식(기울기 등)이 크게 변하는 점

(a) 이상치(큰 잔차)이지만 레버리지 낮음

(b) 레버리지 높지만 추세를 따름

(c) 레버리지 높고 추세에서 벗어남

Q1. 모든 outlier가 influential인가?

No. (a)처럼 x가 가운데 근처인 이상치는 선을 거의 못 움직인다(절편만 조금 이동).

Q2. 모든 high leverage가 influential인가?

No. (b)처럼 추세선 위에 있으면 선이 거의 안 변한다. 추세에서 벗어난 (c)만 기울기가 크게 변한다.

세 개념은 서로 배타적이지 않아요. 한 점이 셋 다일 수도 있고, 이상치이면서 영향력이 없을 수도, high leverage인데 이상치가 아닐 수도 있어요.
기억법: 레버리지는 x, 이상치는 y(잔차), 영향력은 "빼 보면 직선이 변하나?"

2.9 컴퓨터 출력 읽기 (Linear regression output)

데이터가 많으면 손이 아니라 소프트웨어를 쓰고 그 출력을 해석해요. 지금은 두 가지(회귀계수, R-Sq)만 읽으면 돼요.

Predictor Coef SE Coef T P Constant -87.12 29.27 -2.98 0.006 HEIGHT 1.5433 0.3839 4.02 0.000 S = 13.40 R-Sq = 35.8% R-Sq(adj) = 33.6%

Constant → y절편 a = −87.12. 변수 이름(HEIGHT) 행 → 기울기 b = 1.5433. 변수 이름은 데이터마다 바뀌니 이 행의 변수가 x(설명변수)예요. → ŷ = −87.12 + 1.5433·HEIGHT
R-Sq = r² = 35.8% → 선형 모델이 y의 변동의 약 35.8%를 설명한다. r이 필요하면 √0.358 ≈ 0.598, 기울기가 양수이므로 r = +0.598.
S(잔차의 표준편차)와 R-Sq(adj)는 지금은 안 봐도 돼요(프린트에서 ✗ 표시). SE Coef·T·P도 inference(2학기)에서 다시 배워요.

2장 연습문제

학생 200명의 학년과 공부 선호: 10th (Alone 28, With others 22, No pref 15), 11th (30, 25, 10), 12th (35, 18, 17). 합계 칸을 채우고, 12학년 중 혼자 공부를 선호하는 비율이 전체 비율과 다른지 답하시오.

합계: 10th 65, 11th 65, 12th 70 · Alone 93, With others 65, No pref 42 · 전체 200. 12학년 중 Alone = 35/70 = 50%, 전체 Alone = 93/200 = 46.5% → 약 3.5%p 높아 조금 다르다.

위 표에서 다음 중 conditional relative frequency인 것을 모두 고르시오. (i) 28/200 (ii) 28/65 (iii) 28/93 (iv) 93/200

(ii) 28/65: 10학년 중 Alone. (iii) 28/93: Alone 중 10학년. (i)은 전체 대비 칸(joint), (iv)는 marginal relative frequency.

학년별 선호를 세그먼티드 막대그래프로 그렸을 때 그림만 보고는 알 수 없는 것은? ① 학년별로 Alone의 비율이 어떻게 다른가 ② 각 학년의 학생 수 ③ 어느 학년에서 No preference 비율이 가장 큰가

② 학생 수. segmented bar chart는 비율(conditional distribution)만 보여주고 모든 막대의 높이가 100%라 전체 개수는 알 수 없다.

동아리 가입 여부와 학년: 1학년 40명 중 30명 가입, 2학년 60명 중 24명 가입. 두 변수는 연관이 있다고 할 수 있는가?

conditional 비교: 1학년 30/40 = 75%, 2학년 24/60 = 40% → 크게 달라 학년과 가입 여부는 연관이 있다. (비율이 거의 같았다면 관계가 없다고 본다)

병원 A, B의 생존/사망: Good 환자 A 590/10, B 870/30 · Poor 환자 A 210/190, B 30/70. 조건별로 어느 병원이 낫고, 합치면 어떻게 되나? 이 현상의 이름과 이유는?

Good: A 98.3% > B 96.7%, Poor: A 52.5% > B 30% → 각각 A가 낫다. 합치면 A 800/1000 = 80%, B 900/1000 = 90% → B가 더 낫게 보인다. Simpson's paradox: 그룹별 경향이 합치면 뒤집힘. B가 상태 좋은 환자를 훨씬 많이 받았기 때문(환자 상태 = confounding variable).

UC 버클리 1973 입학: 전체 합격률은 남성 45%, 여성 30%인데 학과별로는 6개 중 4개 학과에서 여성이 더 높다. 이 현상이 일어난 이유를 설명하시오.

학과(숨은 변수)를 무시하고 합쳤기 때문이다. 남성은 합격률이 높은 A·B에 많이 지원했고(825, 560명), 여성은 합격률이 낮은 C~F에 많이 지원했다(593, 375, 393, 341명). 학과별로 비교하면 A·B·D·F에서 여성 합격률이 더 높다.

공부 시간(x)과 성적(y) 산점도에서 점들이 오른쪽 위로 향하며 대체로 직선 주변에 모여 있는데 한 학생만 공부 시간은 많은데 성적이 매우 낮다. FODUS로 묘사하시오.

"The scatterplot shows a strong/moderate, positive, linear association between hours studied and score, with one apparent outlier (a student with many study hours but a very low score)." 강도는 눈으로 판단하므로 사람마다 약간 다를 수 있다.

다음 상관계수의 강도(strong/moderate/weak)와 방향을 쓰시오(AP 기준): 0.92, −0.65, 0.3, −0.78, 0.55

0.92 strong, positive · −0.65 moderate, negative · 0.3 weak, positive · −0.78 strong, negative (|r| ≥ 0.7) · 0.55 moderate, positive.

자료 (2,68), (3,72), (5,75), (7,81), (8,89)의 상관계수 r을 구하시오.

x̄ = 5, ȳ = 77. Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 27+10+0+8+36 = 81, Σ(x−x̄)² = 26, Σ(y−ȳ)² = 270. r = 81/√(26·270) = 81/(6√195) = 27/(2√195) ≈ 0.967 (strong, positive).

참/거짓과 이유: (a) r = 0이면 두 변수 사이에 관계가 없다. (b) x와 y를 바꿔도 r은 같다. (c) r = 0.9이면 y 변동의 90%가 x로 설명된다. (d) r = 0.8이면 x가 y의 원인이다. (e) r은 이상치에 민감하다.

(a) 거짓: 선형 관계가 없다는 뜻뿐, 곡선 관계는 있을 수 있다. (b) 참. (c) 거짓: 설명 비율은 r² = 0.81 → 81%. (d) 거짓: 상관 ≠ 인과. (e) 참.

(1,10), (3,9), (5,8), (7,4), (9,3), (11,2)의 최소제곱회귀선을 구하시오.

x̄ = ȳ = 6. Σ(x−x̄)(y−ȳ) = −62, Σ(x−x̄)² = 70. b = −62/70 = −31/35, a = ȳ − b x̄ = 6 + 186/35 = 396/35. ŷ = 396/35 − (31/35)x ≈ 11.31 − 0.886x.

게임 시간 x(시간/주)와 시험 점수 y에서 r = −0.6, s_x = 4, s_y = 10, x̄ = 20, ȳ = 50. 회귀선을 구하고 x = 25일 때 예측값과 기울기 해석을 쓰시오.

b = r·s_y/s_x = −0.6 × 10/4 = −1.5, a = 50 − (−1.5)(20) = 80 → ŷ = 80 − 1.5x. x = 25 → 80 − 37.5 = 42.5점. 해석: "For each additional hour of gaming per week, the predicted test score decreases by 1.5 points, on average."

(x̄, ȳ)가 최소제곱회귀선 위에 있음을 보이시오.

최소제곱회귀선에서는 잔차의 합이 0: Σ(y_i − a − b x_i) = 0 → Σy_i − na − bΣx_i = 0. n으로 나누면 ȳ − a − b x̄ = 0, 즉 ȳ = a + b x̄. 따라서 (x̄, ȳ)는 직선 위에 있다(그리고 a = ȳ − b x̄).

ŷ = 10 + 3x에서 (3, 18)과 (6, 31)의 잔차를 구하고 부호의 의미를 설명하시오.

(3, 18): ŷ = 19, e = 18 − 19 = −1 → 점이 직선 아래, 모델이 overestimate. (6, 31): ŷ = 28, e = 31 − 28 = +3 → 점이 직선 위, 모델이 underestimate.

(1,16), (2,14), (3,18), (4,21), (5,23), (6,31)에 대해 회귀선, 잔차, 잔차도 해석, r²와 그 의미를 쓰시오.

ŷ = 10 + 3x (b = 52.5/17.5 = 3, a = 20.5 − 10.5). 잔차 +3, −2, −1, −1, −2, +3 (합 0). 잔차도는 U자 패턴 → "There is a pattern, so a nonlinear model will show a better fit." r² = 1 − 28/185.5 ≈ 0.849: "About 84.9% of the variation in test score is explained by the linear relationship with hours studied." 그러나 패턴이 있으므로 선형 모델이 최선은 아니다.

[AP 기출 27~29] Lisa는 학생 40명의 course grade(CG)와 숙제 완료율(HW, 30%~100%)로 ĈG = 12.73 + 0.74(HW), r² = 0.234를 얻었다.
27. r² = 0.234의 올바른 해석은? (A) HW의 변동 중 CG와의 선형 관계로 설명되는 비율이 0.234 (B) 같은 것인데 0.484 (C) CG의 변동 중 HW와의 선형 관계로 설명되는 비율이 0.234 (D) CG의 변동 중 HW 모델로 설명되는 비율이 0.484
28. HW = 0%인 학생의 CG를 이 모델로 예측해도 되는가? (A) 예, CG가 12.73이 되므로 (B) 예, 약한 양의 상관 때문에 (C) 아니오, 0%가 HW의 최솟값보다 작아서 (D) 아니오, 40명만 조사해서
29. 기울기의 올바른 해석은? (A) HW가 1%p 늘 때 CG가 평균 0.74 증가 (B) HW가 0.74%p 늘 때 CG가 증가 (C) 12.73%p 늘 때 1점 증가 (D) 12.73 증가

27 → C: 반응변수(CG)의 변동이 설명변수(HW)와의 선형 관계로 설명되는 비율이 r² = 0.234. (A·B는 변수가 뒤바뀜, D는 0.484가 r이지 r²가 아님) 28 → C: x = 0%는 자료 범위(30~100%) 밖이라 extrapolation. 29 → A: 설명변수 1단위 증가당 반응변수 예측값이 평균 0.74 증가.

(a) r = −0.8일 때 r². (b) r² = 0.358이고 기울기가 양수일 때 r. (c) r² = 0.234일 때 |r|은?

(a) r² = 0.64(64% 설명, 36% 설명 안 됨). (b) r = +√0.358 ≈ +0.598(기울기가 양수이므로 +). (c) |r| = √0.234 ≈ 0.484(위 기출 27번 (D)의 0.484는 r이지 r²가 아님).

세 잔차도: (가) 0 주위에 무작위로 흩어짐 (나) U자 곡선 모양 (다) x가 커질수록 위아래 퍼짐이 커지는 부채꼴. 각각 선형 모델이 적절한지 판단하시오.

(가) 적절(패턴 없음, 퍼짐 일정). (나) 부적절 → 비선형(곡선) 모델이 더 잘 맞는다. (다) 직선 자체는 가능해도 x에 따라 y의 퍼짐이 일정하지 않아 모델의 전제(일정한 퍼짐)가 맞지 않는다.

(a) 모든 outlier는 influential point인가? (b) 모든 high leverage point는 influential인가? (c) 세 용어를 각각 한 문장으로 정의하시오.

(a) No (b) No. (c) Outlier: 전체 경향에서 벗어난(잔차가 큰) 점. High leverage: x값이 x̄에서 멀리 떨어진 점. Influential point: 제거·추가했을 때 회귀식이 크게 변하는 점. 서로 겹칠 수 있지만 같은 개념은 아니다.

키(HEIGHT, cm)로 몸무게(lb)를 예측한 컴퓨터 출력이 Constant −87.12, HEIGHT 1.5433, R-Sq = 35.8%이다. 회귀식, 기울기 해석, r, 키 170 cm의 예측 몸무게, 절편 해석이 의미 없는 이유를 쓰시오.

ŷ = −87.12 + 1.5433·HEIGHT. 기울기: 키가 1 cm 클 때마다 예측 몸무게가 평균 약 1.54 lb 증가. r = +√0.358 ≈ 0.598(기울기 양수). 170 cm → −87.12 + 1.5433(170) ≈ 175.2 lb. 절편 −87.12는 키 0 cm일 때의 예측값인데 음수 몸무게이고 자료 범위 밖(extrapolation)이라 의미가 없다. (이 문제의 변수·단위는 연습용으로 가정한 것)

3 Collecting Data 자료 수집: 관찰연구와 표본추출

3.1 자료 수집의 세 가지 접근

"Garbage in, garbage out"

통계적 결론의 질은 그 밑바탕이 되는 자료의 질만큼만 좋다. 3장은 결론이 믿을 만하도록 자료를 어떻게 모을지 원칙 있게 정하는 이야기예요.

접근	무엇을 하나	할 수 있는 결론
Census 전수조사	모집단의 모든 개체에서 자료를 수집	이상적으로 들리지만 비현실적·비싸고, 측정 오류가 쌓여 잘 설계한 표본보다 오히려 부정확할 수도 있다
Observational study 관찰연구	처치를 가하지 않고 관찰·기록. 가장 흔한 형태가 survey(설문조사): 의견·행동·특성을 묻는다	association(연관)은 찾지만 causation(인과)은 입증 못 함 — confounding(lurking) variable이 늘 위협. 추가 연구를 위한 가설 생성용
Experiment 실험	연구자가 처치(treatment)를 의도적으로 부과하고 반응을 관찰	적절한 random assignment가 있으면 causation을 보일 수 있다

Confounding(lurking) variable은 observational study의 항상 존재하는 위협. 처치를 직접 부과하고 random assignment를 한 experiment만 인과(causation)를 보일 수 있다.

프린트 빈칸 정답

관찰연구의 가장 흔한 형태 = survey · 찾을 수 있는 것 = association · 항상 위협 = confounding variables · 실험에서 부과하는 것 = treatment · 입증할 수 있는 것 = causation

3.2 나쁜 표본추출과 편향 (How to sample badly)

Bias (편향)

표본 설계가 모집단의 어떤 부분을 체계적으로 과대 또는 과소 대표해서, 결론이 현실을 반영하지 못하는 상태. 나쁜 표본 설계는 쓸모없는 자료를 만든다.

종류	뜻	왜 문제인가 · 예
Voluntary response sample	개인이 스스로 참여를 선택한 표본 (보통 일반 초대에 응답)	강한 의견을 가진 사람이 훨씬 많이 응답 → 극단적 의견이 과대 대표. 예: 학교 웹사이트 투표, 방송 call-in
Convenience sample	가장 만나기 쉬운 사람을 고른 표본	"쉽게 닿는 것"은 거의 "대표하는 것"이 아니다 → 가까이 있던 사람의 특성만 반영. 예: 급식실 앞 지나가는 학생
Undercoverage	모집단의 일부 집단이 추출 과정에서 체계적으로 빠짐(선택될 확률이 0이거나 낮음)	표본의 결론이 제외된 집단을 대표하지 못함(구조적으로 불완전). 예: 유선전화 번호부로만 조사
Nonresponse bias	선택은 됐지만 응답하지 않음	응답하지 않은 사람이 응답한 사람과 다를 수 있다(더 바쁨, 사생활 중시, 설문에 회의적…). 예: 우편 설문의 낮은 회수율
Response bias	응답자가 부정확하게 답함 (의도적이든 무의식이든)	예: 민감한 질문(지각 횟수, 음주)에 거짓말
Wording bias	질문의 문구가 응답자를 특정 답으로 유도	예: "…을 개선할 필요가 없다고 생각하지 않으십니까?"

자주 헷갈리는 쌍

Undercoverage = 어떤 사람들이 선택될 기회 자체를 못 가졌다. Nonresponse bias = 선택은 됐지만 참여하지 않았다. / Response bias는 응답은 했지만 부정확, Wording bias는 질문 문구가 원인.

3.3 좋은 표본추출: 무작위 추출 (Random sampling)

편향의 근본적인 해결책은 random sampling이에요. 개체가 우연으로 선택되면 어떤 집단도 체계적으로 유리하지 않아서, 표본이 모집단을 반영할 최선의 기회를 가져요.

Sampling variability

같은 모집단에서 뽑은 서로 다른 무작위 표본은 서로 다른 statistic을 만든다. 무작위 추출의 피할 수 없는 결과.

Sampling error

표본 statistic과 실제 모수(parameter)의 차이. 결함이 아니라 표본만 관찰하는 데서 오는 자연스러운 결과.

핵심

sampling variability와 sampling error는 예측하고 수량화할 수 있지만, bias는 그렇지 못하다. 그래서 편향 없이 뽑는 것이 우선이에요.

낮은 bias · 낮은 variability

낮은 bias · 높은 variability

높은 bias · 낮은 variability

높은 bias · 높은 variability

보충: 표본 크기를 키우면 variability는 줄지만 bias는 사라지지 않아요. 편향된 표본은 아무리 커도 편향입니다(sampling distribution에서 다시 다뤄요).

3.4 네 가지 무작위 추출법

SRS: 48명 중 6명을 완전히 무작위로. 모든 6명 조합이 같은 확률.

Stratified: 비슷한 개체끼리 3개 층(strata)으로 나누고(회색 띠) 각 층에서 SRS(층마다 2명).

Cluster: 각 세로줄이 한 군집(안에 다양한 개체). 군집 하나를 무작위로 골라 그 안의 전원을 조사.

Systematic: 번호를 매기고(위→아래, 왼쪽→오른쪽 줄 순서) k = 48/6 = 8. 처음 1~8번 중 무작위로 3번에서 시작해 3, 11, 19, 27, 35, 43번.

방법	절차	언제·특징
SRS Simple Random Sample	크기 n인 가능한 모든 표본이 같은 확률로 뽑힌다. (그래서 모든 개체도 같은 확률)	가장 기본. 난수표·난수 생성기를 이용
Stratified 층화추출	모집단을 비슷한(homogeneous) 개체끼리 묶은 층(strata)으로 나누고, 각 층에서 SRS를 뽑아 합친다 → stratified random sample	층 기준: 나이·성별·소득·학년 등. Proportional sampling은 각 층의 크기에 비례해서 뽑는 방식
Cluster 군집추출	모집단을 다양한(heterogeneous) 구성의 군집(clusters)으로 나누고, 군집을 무작위로 몇 개 고른 뒤 그 안의 전부를 조사	지리적으로 넓거나 전체 명단을 얻기 어렵고 자연스러운 집단(학교·동네·가구)의 목록은 있을 때
Systematic 계통추출	목록의 처음 k개 중 하나를 무작위로 선택하고, 이후 k번째마다 포함	k ≈ N / n. 방법들은 단독 또는 조합해서 쓸 수 있다

Stratified vs Cluster

Stratified: 층 안은 비슷하고 층끼리는 다르다 → 모든 층에서 일부를 뽑는다. Cluster: 군집 안이 다양(모집단의 축소판)하고 군집끼리는 비슷하다 → 일부 군집을 골라 전원을 조사한다.

난수표로 SRS 뽑기 (random digit table)

레이블에 필요한 자릿수를 정한다. (50명이면 01~50, 두 자리)
표에서 시작점을 고른다.
레이블 자릿수만큼 연속해서 읽으며 유효한 번호를 기록한다. (범위 밖·중복은 건너뛴다)
필요한 표본 크기가 될 때까지 반복한다.

예제: AP 통계 수강생 50명 중 8명을 SRS로 (난수표 Row 01을 왼쪽부터 두 자리씩)

Row 01의 숫자: 89392 23212 74483 36590 25956 36544 …

두 자리씩: 89 39 22 32 12 74 48 33 65 90 25 95 63 65 44 …

01~50에 들어오는 것만 뽑으면 39, 22, 32, 12, 48, 33, 25, 44 → 8명 완성. (시작점이 다르면 답도 달라지니 과정이 중요해요.)

예제: KMLA 450명(10·11·12학년 각 150명, 학년마다 10반)에서 30명 급식 만족도 조사

방법	절차
SRS	450명에게 001~450 번호를 붙이고, 난수표에서 세 자리씩 읽어 001~450이면 뽑는다. 450 초과·중복은 건너뛰고 30명이 될 때까지.
Stratified	학년이 strata. 학년마다 001~150으로 번호를 붙이고, 각 학년에서 10명씩 서로 다른 번호를 뽑아 총 30명(비례 배분: 150:150:150 → 10:10:10).
Cluster	450명은 이미 15명씩 30개 행정반. 반에 01~30 번호를 붙이고 두 자리 난수 2개(01~30, 중복·범위 밖 제외)로 2개 반을 뽑아 그 반 학생 전원(2 × 15 = 30명).
Systematic	1~450 번호를 붙이고 k = 450/30 = 15. 난수표로 01~15 중 시작 번호를 고른다. 시작이 7이면 7, 22, 37, 52, … 15번째마다 30명이 될 때까지(마지막은 7 + 15×29 = 442).

3.5 Random sampling method 적용하기 시험 필출

선생님 공지 (9/22 구글 클래스룸)

"chap3 마지막 페이지, random sampling method 적용하는 것 반드시 시험에 나옵니다!!! 꼭!!!! 네 개 중에 하나 나와요!!!!!" → 4쪽의 KMLA 예제처럼 SRS · Stratified · Cluster · Systematic 중 하나를 주어진 상황에 적용해 절차를 서술하는 문제예요. 어느 것이 나올지 모르니 넷 다 쓸 수 있어야 합니다.

답안에 꼭 들어가야 할 요소

방법	순서대로 쓸 것	감점 포인트
SRS	① 모집단 전체에 번호(레이블). 자릿수 = N의 자릿수 (450명 → 001~450) ② 난수표에서 임의의 시작점(행·열) ③ 레이블 자릿수만큼 연속해서 왼쪽→오른쪽으로 읽기 ④ 범위 안이면 선택, 범위 밖(450 초과, 000)과 중복은 건너뜀 ⑤ n명이 될 때까지 계속	자릿수가 안 맞음(두 자리로 450 읽기), 번호를 안 붙임, 중복 허용, 건너뛰는 규칙 누락
Stratified	① 층(strata) 정의: 층 안이 비슷한 기준 (예: 학년) ② 층별 인원(비례 배분: n × N_h/N, 또는 문제가 정한 수) ③ 각 층 안에서 번호를 붙이고 SRS ④ 뽑은 것을 합쳐 하나의 표본	층 정의 근거 없음, 배분 계산 없음, 전체에서 한 번에 SRS, "각 층에서"를 빠뜨림
Cluster	① 군집(cluster) 정의: 자연스러운 집단(반·학교·동네), 안은 다양 ② 군집에 번호 붙이기 (예: 30개 반 → 01~30) ③ 난수표로 군집 c개 선택 (c = n ÷ 군집 크기), 범위 밖·중복 건너뜀 ④ 뽑힌 군집의 모든 구성원 조사	군집 안에서 일부만 뽑음, 개인에게 번호를 붙임, 필요한 군집 수 계산 누락
Systematic	① 명단에 1~N 번호 ② k = N ÷ n 계산 ③ 난수표로 1~k 중 시작 번호 선택 ④ 시작, 시작+k, 시작+2k, … n개	시작 번호를 늘 1로 고정, 시작이 k를 넘음, k 계산 없음, 마지막 번호가 N 초과

난수표 읽는 규칙 한눈에

읽는 자릿수 = 가장 큰 레이블의 자릿수. 50명 → 두 자리(01~50), 150·450명 → 세 자리(001~150, 001~450).
00(000)은 레이블이 아니므로 건너뜀. 범위 밖과 이미 뽑은 번호(중복)도 건너뜀. 줄이 끝나면 다음 줄로 이어서 읽는다.
시작점은 아무 데나 괜찮지만 "무작위로 정한 시작점"이라고 쓰고, 읽는 방향(왼쪽→오른쪽)을 밝힌다.
프린트 4쪽은 학년별 번호를 "01~150"이라고 썼지만 150은 세 자리라 001~150이 엄밀한 표현이에요.

답안 템플릿 (English) — KMLA 450명에서 30명, 한 학년은 150명·10반

SRS

"Label all 450 students 001 to 450. Starting at a randomly chosen place in the random digit table, read three-digit numbers from left to right. Select the student whose label matches each number from 001 to 450. Skip numbers greater than 450, 000, and any repeats. Continue until 30 different students have been selected."

Stratified (층 = 학년)

"Divide the students into three strata by grade (10th, 11th, 12th), since students in the same grade are similar. Within each grade, label the students 001 to 150. Using the random digit table, select an SRS of 10 students from each grade (skipping numbers above 150 and repeats). Combine the three groups to get the 30 students to survey."

비례 배분이 요구되면: 각 학년 150명 = 전체의 1/3이므로 30 × 1/3 = 10명씩.

Cluster (군집 = 행정반)

"The 450 students are already in 30 homerooms of 15 students (each homeroom is a cluster). Label the homerooms 01 to 30. Using the random digit table, read two-digit numbers and select 2 different homerooms (skipping numbers outside 01–30 and repeats). Survey every student in the 2 selected homerooms (2 × 15 = 30 students)."

Systematic

"Label the students 1 to 450 in the list. The sampling interval is k = 450 / 30 = 15. Use the random digit table to choose a random starting number between 01 and 15. If the start is 7, select students 7, 22, 37, 52, …, every 15th student, until 30 students are selected (the last is 7 + 15 × 29 = 442)."

연습하는 방법

① 위 템플릿을 보지 않고 네 방법을 영어로 써 본다 ② 모의고사 D의 새 상황 4문제(난수 줄 포함)를 풀어 본다 ③ 검산 도구 ③에 난수를 넣어 내가 읽은 결과가 맞는지 확인한다.

3장 연습문제

다음은 census, observational study, experiment 중 무엇인가? (a) 500명에게 수면 시간과 BMI를 설문 (b) 학생 60명을 무작위로 두 조로 나눠 한 조에만 새 학습법 적용 (c) 학교 전교생 모두에게 설문

(a) observational study(survey): 연관은 찾지만 인과는 입증 못 함. (b) experiment: 처치를 부과하고 random assignment → 인과 가능. (c) census: 모집단 전체 조사.

편향의 종류를 쓰시오. (a) 학교 웹사이트에 링크를 올려 응답한 학생만 집계 (b) 급식실 앞에서 지나가던 학생 20명 조사 (c) 유선전화 번호부에서만 뽑아 전화 조사 (d) 우편 설문 1000통 중 120통만 회수 (e) "훌륭한 급식을 개선할 필요가 없다고 생각하지 않으십니까?" (f) "이번 달 지각을 몇 번 했나요?"를 면접으로 질문

(a) voluntary response (b) convenience (c) undercoverage (휴대폰만 쓰는 사람은 선택될 기회가 없음) (d) nonresponse bias (e) wording bias (f) response bias (부정확·거짓 응답).

undercoverage와 nonresponse bias의 차이를 설명하시오.

Undercoverage: 모집단의 일부 사람들이 추출 과정에서 선택될 기회 자체가 없거나 낮다(체계적으로 빠짐). Nonresponse bias: 사람들이 선택은 되었지만 참여하지 않았고, 응답하지 않은 사람이 응답한 사람과 다를 수 있다.

AP 통계 수강생 50명 중 8명을 난수표로 SRS하려 한다. 레이블, 읽는 방법을 쓰고, Row 01(89392 23212 74483 36590 25956 36544 …)을 왼쪽부터 읽어 뽑힌 8명을 쓰시오.

레이블 01~50(두 자리). 두 자리씩 읽고 01~50이 아니거나 중복이면 건너뛴다: 89 39 22 32 12 74 48 33 65 90 25 95 63 65 44 → 39, 22, 32, 12, 48, 33, 25, 44.

학생 450명에서 30명을 계통추출(systematic)한다. 간격 k와, 시작 번호가 7일 때 뽑히는 번호의 처음과 마지막을 구하시오.

k = 450/30 = 15. 7, 22, 37, 52, … 마지막(30번째)은 7 + 15 × 29 = 442.

학교의 1학년 200명, 2학년 300명, 3학년 100명 중 비례 배분(proportional) 층화추출로 총 60명을 뽑는다. 학년별 인원은?

전체 600명 중 비율 1/3 : 1/2 : 1/6 → 20명, 30명, 10명(합 60). 각 학년에서 SRS.

30개 학급(각 15명)에서 두 학급을 무작위로 골라 그 학급의 모든 학생을 조사했다. 어떤 추출법인가? stratified와 무엇이 다른가?

cluster sampling(군집 = 학급). 군집 안은 다양하고, 일부 군집만 골라 그 안의 전원을 조사한다. stratified는 비슷한 개체끼리 층으로 나눠 모든 층에서 SRS를 뽑는다.

같은 학교에서 무작위로 뽑은 두 표본의 지지율이 54%와 51%였다. 이것은 문제인가? bias와 어떻게 다른가?

문제가 아니다. sampling variability: 무작위 표본마다 statistic이 다른 것은 자연스러운 현상(sampling error)이고 예측·수량화할 수 있다. Bias는 표본 설계 탓에 한쪽으로 체계적으로 치우치는 것으로 예측·수량화가 안 된다.

여름에 아이스크림 판매량과 수영장 사고 건수가 함께 증가했다는 관찰연구 결과로 "아이스크림이 사고를 일으킨다"고 결론내려도 되는가?

안 된다. 관찰연구는 association만 보여 주며 인과를 입증하지 못한다. 기온·계절(confounding variable)이 두 변수를 모두 높였을 수 있다. 인과를 보려면 처치를 부과하고 random assignment를 한 experiment가 필요.

M 출제 유형 · 모의고사 선생님이 언급한 유형 + 연습 시험

선생님이 언급한 출제 유형

수업 녹취에서 시험·문제에 대해 직접 말한 내용만 모았어요. 유형별로 어떻게 대비할지와, 아래 모의고사의 어느 문항으로 연습할 수 있는지를 함께 적었습니다.

유형	선생님이 한 말	대비	연습
★ Random sampling method 적용	9/22 구글 클래스룸 공지: "chap3에 마지막 페이지, random sampling method 적용하는 것 반드시 시험에 나옵니다… 네 개 중에 하나 나와요" (수업 녹취가 아니라 공지)	네 방법 모두: 번호 붙이기 → 난수표 읽기(자릿수·범위 밖·중복) → 결과. 영어 템플릿을 외우기	3.5절 · 모의고사 D 1~4 · 검산 도구 ③
AP 스타일 · FRQ	"시험 스타일과 채점 기준이 다 AP 스타일", FRQ 스타일로 많이 내고 꼼꼼히 채점(0.5점씩 감점한 적도). 문제 수가 많은 편이라 이번엔 줄이겠다고 함	문맥(context)을 넣은 완성된 영어 문장. 모든 소문항을 시도해 부분 점수를 챙긴다	서술형 FRQ 1~5
잔차·r² 서술	회귀 마지막 부분은 "서술형으로 나올 가능성이 높다". "잔차도가 어떠냐고 물어보고 결론도 쓰라고 할 것", r² 해석은 "무조건" 쓰라고 함	"clear pattern → 선형 부적절, 비선형이 더 낫다" + "proportion of the variation in (response) explained by the linear relationship with (explanatory)"	FRQ 2 · 객관식 9~12 · 참/거짓 13
SOCS 묘사	"중간고사에 거의 낼 것 같다". 나오면 Shape·Outliers·Center·Spread 네 가지로 채점	네 요소를 문맥과 함께, 중심·퍼짐은 모양에 맞는 짝으로	FRQ 1(d)
참/거짓	본인이 "참거짓 매니아"라고 함. 수업에서도 "모든 outlier는 influential인가?" 같은 참/거짓을 물음	"모든/항상/반드시" 같은 단정 표현을 의심하고, 반례(또는 이유)를 말할 수 있게	참/거짓 14문항
상자그림 함정	문제에서 min/max를 여러 개 줘서 이상치와 구분하게 한다. five-number summary는 이상치가 있어도 안 바뀐다	울타리를 먼저 계산 → 수염 끝은 이상치를 뺀 최댓값/최솟값	객관식 1·2 · FRQ 1
계산 문제	시험에는 작은 샘플·계산기 사용·깔끔한 숫자. 공식은 시험지에 안 줌	r, b, a, s는 편차 표로. 공식(특히 b = r·s_y/s_x, a = ȳ − b x̄)은 암기	객관식 4·5·8 · FRQ 2·5
컴퓨터 출력	"실제로 문제도 그렇게 나온다". 회귀계수와 R-Sq만 보면 된다	Constant = 절편, 변수 행 = 기울기, R-Sq = r², r = ±√R-Sq(부호는 기울기)	객관식 14
히스토그램 해석	그리는 것보다 "보고 해석할 줄 알아야" 한다	누적 도수로 median이 속한 계급 찾기, 모양·이상치 읽기	객관식 18
AP 기출 객관식	영어 지문이 길다. context에서 x(explanatory)와 y(response)를 잘 봐야 한다 (프린트의 Q27~29)	지문 속 변수 역할을 먼저 표시하고 선택지를 읽는다	객관식 10·11 · 연습문제 b16
용어	용어를 문제로 내진 않을 것 같지만 문제를 읽으려면 알아야 한다	1.1절과 플래시카드	참/거짓 전반

시험에 안 나온다고 한 것

최소제곱법의 편미분 유도, 컴퓨터 출력의 S·R-Sq(adj), 공분산(안 나올 것 같다고), |r| ≤ 1 증명(심화 과제).

녹취에 없었던 것

객관식·서술형의 비율, 문항 수, 시험 시간, 정확한 시험 범위는 말한 적이 없어요(범위는 "챕터 11까지"로 들리나 불분명). 공지로 확인된 것은 "chap3 마지막 페이지(추출법 적용) 출제"뿐이에요. 8/24 녹취에 "단정하는 문장은 거의 틀린다"는 취지로 들리는 부분이 있지만 문장이 많이 깨져 확신할 수 없습니다.

아래 모의고사에 대해

위 유형에 맞춰 제가 만든 연습용 문항이에요(참/거짓 14 · 객관식 18 · 서술형 5 · 추출법 적용 4). 실제 시험의 형식·난이도·분량과는 다를 수 있고, 모든 정답과 수치는 코드로 검산했어요. 객관식·참/거짓은 선택 후 채점하기를 누르면 해설이 나오고, 서술형은 모범답안과 채점 기준(각 1점)을 보고 스스로 채점하세요.

B 객관식 18문항 · AP 스타일

15명의 통학 시간(분): 2, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 22, 41. AP 방식으로 구한 five-number summary는?

(A) 2, 8, 13, 17, 41
(B) 2, 8.5, 13, 16.5, 41
(C) 2, 8, 13, 17, 22
(D) 2, 6, 13, 19, 41

정답: A · n = 15 → median(8번째) = 13. 이것을 뺀 아래 7개 {2, 5, 6, 8, 9, 11, 12}의 중앙값 Q₁ = 8, 위 7개 {14, 15, 16, 17, 19, 22, 41}의 중앙값 Q₃ = 17. (B)는 중앙값을 양쪽에 포함한 방식, (C)는 수염 끝(22)을 max로 착각한 것이에요. 이상치가 있어도 five-number summary의 max는 41입니다.

위 자료로 상자그림을 그린다. 위쪽 수염의 끝과 이상치로 찍을 값은?

(A) 수염 끝 41, 이상치 없음
(B) 수염 끝 22, 이상치 41
(C) 수염 끝 30.5, 이상치 41
(D) 수염 끝 17, 이상치 19, 22, 41

정답: B · IQR = 17 − 8 = 9, upper fence = 17 + 1.5·9 = 30.5. 41 > 30.5이므로 outlier. 수염은 이상치를 제외한 최댓값 22까지(울타리 값 30.5까지가 아님). lower fence = −5.5 아래에는 값이 없어요.

한 도시 가구 소득 분포가 오른쪽으로 길게 치우쳐 있다. 가장 적절한 설명은?

(A) mean이 median보다 작다.
(B) mean과 median은 거의 같다.
(C) median이 더 적절한 대표값이다. 소수의 아주 높은 소득이 mean을 끌어올리기 때문이다.
(D) skewed 분포에서는 IQR을 구할 수 없다.

정답: C · right skew → 보통 mean > median이고, 이상치·skew에 강한 median(+IQR)이 중심·퍼짐으로 더 적절합니다.

한 학생이 세 시험을 봤다. A: 평균 72, SD 6에서 84점 / B: 평균 68, SD 4에서 74점 / C: 평균 80, SD 10에서 96점. 상대적으로 가장 잘 본 시험은?

(A) 시험 A
(B) 시험 B
(C) 시험 C
(D) 셋 모두 같다

정답: A · z_A = (84 − 72)/6 = 2.0, z_B = (74 − 68)/4 = 1.5, z_C = (96 − 80)/10 = 1.6. 평균에서 가장 많은 SD만큼 위인 시험 A.

성인 여성 키가 정규분포(평균 160 cm, SD 6 cm)를 따른다. 경험적 규칙으로 154 cm ~ 172 cm인 비율은 약 얼마인가?

(A) 68%
(B) 81.5%
(C) 95%
(D) 97.5%

정답: B · 154 = μ − σ, 172 = μ + 2σ. 구간 면적 34% + 34% + 13.5% = 81.5%. (그림에 눈금을 써 놓고 면적을 더하면 쉬워요)

학생 200명의 동아리 활동 조사:

	Band	Sports	Neither	Total
Junior	30	50	20	100
Senior	20	30	50	100
Total	50	80	70	200

Band 학생들 중 Senior의 비율은?

(A) 20/200 = 0.10
(B) 20/100 = 0.20
(C) 20/50 = 0.40
(D) 30/50 = 0.60

정답: C · 조건이 "Band인 학생"이므로 분모는 Band 합계 50 → 20/50 = 0.40. (A)는 전체 대비 칸(joint), (B)는 Senior 중 Band(분모가 Senior 합계), (D)는 Band 중 Junior.

두 변수의 상관계수가 r = −0.85이다. 옳은 결론은?

(A) x가 증가하면 y가 감소하도록 만든다.
(B) x와 y 사이에 강한 음의 선형 관계가 있다.
(C) y 변동의 85%가 x로 설명된다.
(D) 회귀선의 기울기는 −0.85이다.

정답: B · |r| ≥ 0.7이면 strong. 상관은 인과가 아니고(A), 설명 비율은 r² = 0.7225(C), 기울기는 b = r·s_y/s_x로 r과 다르다(D).

x̄ = 10, s_x = 2, ȳ = 70, s_y = 8, r = 0.5이다. 최소제곱회귀선은?

(A) ŷ = 50 + 2x
(B) ŷ = 68.75 + 0.125x
(C) ŷ = 65 + 0.5x
(D) ŷ = 70 + 2x

정답: A · b = r·s_y/s_x = 0.5 × 8/2 = 2, a = ȳ − b x̄ = 70 − 20 = 50. (B)는 s_x/s_y를 뒤집은 것, (C)는 b = r로 착각, (D)는 a를 ȳ로 착각한 것.

회귀선이 ŷ = 12 + 3x이고 관측값이 (x = 4, y = 21)이다. 이 점의 잔차와 의미는?

(A) +3, 모델이 실제보다 낮게 예측(underestimate)
(B) −3, 모델이 실제보다 높게 예측(overestimate)
(C) +3, 모델이 overestimate
(D) −3, 모델이 underestimate

정답: B · ŷ = 12 + 12 = 24, e = y − ŷ = 21 − 24 = −3. 실제값이 직선 아래 → 모델이 overestimate.

나무 30그루의 지름(인치)으로 키(피트)를 예측한 회귀에서 r² = 0.81이다. 올바른 해석은?

(A) 나무의 81%는 키가 정확히 예측된다.
(B) 나무 키의 변동 중 지름과의 선형 관계로 설명되는 비율이 0.81이다.
(C) 지름이 1인치 커지면 키가 0.81피트 커진다.
(D) 키와 지름의 상관계수가 0.81이다.

정답: B · r² = 반응변수(키)의 변동 중 설명변수(지름)와의 선형 관계로 설명되는 비율. (C)는 기울기 해석, (D)는 r(= ±0.9)과 혼동.

주당 과외 시간 x(관측 범위 1~6시간)로 점수 향상 y(점)를 예측한 회귀선이 ŷ = 2.5 + 0.8x이다. 옳은 설명은?

(A) x = 0이면 점수 향상은 0점이다.
(B) 과외 시간이 1시간 늘 때마다 점수 향상의 예측값이 평균 0.8점 늘어난다.
(C) 과외 시간이 1시간 늘 때마다 점수 향상의 예측값이 평균 2.5점 늘어난다.
(D) 20시간 과외를 받으면 향상이 18.5점이라고 믿을 수 있게 예측할 수 있다.

정답: B · 기울기 해석은 (B). (A)는 절편이 2.5라 틀림, (C)는 절편을 기울기로 착각, (D)는 자료 범위(1~6시간) 밖의 extrapolation이라 신뢰할 수 없어요.

Residual plot

위 잔차도(양 → 음 → 양)에서 얻을 수 있는 가장 적절한 결론은?

(A) 잔차가 무작위로 흩어져 선형 모델이 적절하다.
(B) 곡선(비선형) 모델이 자료를 더 잘 설명할 것이다.
(C) 자료에 이상치가 없다.
(D) 상관계수 r은 반드시 0이다.

정답: B · 잔차도에 뚜렷한 U자 패턴이 있으므로 선형 모델이 부적절하고 비선형 모델이 더 잘 맞습니다. 잔차의 합은 어차피 0이라 r과는 무관해요.

어떤 점 P는 x값이 다른 점들의 x 평균에서 아주 멀리 있지만, 나머지 점들이 만드는 추세선 바로 위에 놓여 있다. 가장 적절한 설명은?

(A) P는 outlier이면서 influential이다.
(B) P는 high leverage이지만 추세를 따르므로 influential하지 않을 가능성이 크다.
(C) P는 y값이 추세선 근처이므로 leverage가 낮다.
(D) P는 high leverage이므로 반드시 influential이다.

정답: B · 레버리지는 x로 정해지므로 high leverage. 추세선 위에 있으면 이 점을 빼도 직선이 거의 변하지 않아 influential하지 않아요. high leverage ⇒ influential은 아닙니다.

시험 점수(Score)를 공부 시간(Hours)으로 예측한 컴퓨터 출력이다.

Predictor Coef SE Coef T P Constant 52.30 3.21 16.29 0.000 Hours 4.10 0.65 6.31 0.000 S = 6.12 R-Sq = 64.0% R-Sq(adj) = 62.4%

Hours와 Score의 상관계수 r은?

(A) 0.64
(B) −0.80
(C) 0.80
(D) 4.10

정답: C · R-Sq = r² = 0.64 → |r| = 0.8. 기울기(Hours의 Coef 4.10)가 양수이므로 r = +0.80. (회귀식은 ŷ = 52.30 + 4.10·Hours)

한 교육청의 학교 120곳 중 6곳을 무작위로 뽑아, 뽑힌 학교의 모든 학생에게 설문을 했다. 이 추출법은?

(A) Simple random sample
(B) Stratified random sample
(C) Cluster sample
(D) Systematic sample

정답: C · 학교(군집)를 무작위로 고르고 그 안의 전원을 조사하므로 cluster sampling.

무작위로 뽑은 1,000가구에 설문지를 우편으로 보냈는데 150가구만 회신했다. 가장 걱정되는 편향은?

(A) Undercoverage
(B) Nonresponse bias
(C) Voluntary response bias
(D) Wording bias

정답: B · 가구는 무작위로 선택됐지만 많은 사람이 응답하지 않았습니다 → nonresponse bias. (undercoverage는 선택될 기회 자체가 없는 경우)

지원자 80명을 무작위로 두 다이어트 중 하나에 배정하고 3개월 후 체중 감량을 비교했더니 다이어트 1이 평균적으로 더 컸다. 가장 적절한 결론은?

(A) 지원자를 썼으므로 어떤 결론도 낼 수 없다.
(B) 무작위 배정을 했으므로, 이 지원자들에게서는 다이어트의 차이가 감량 차이의 원인이라고 결론내릴 수 있다.
(C) 관찰연구이므로 연관만 말할 수 있다.
(D) 결과를 모든 성인에게 그대로 일반화할 수 있다.

정답: B · 처치(다이어트)를 부과하고 random assignment를 했으므로 experiment → 인과 결론 가능. 다만 표본이 지원자(비무작위 추출)라서 모든 성인으로의 일반화는 안 돼요.

25명의 통학 시간(분) 히스토그램

25명의 통학 시간 히스토그램이다. median이 들어 있는 계급은?

(A) 10~20분
(B) 20~30분
(C) 30~40분
(D) 알 수 없다

정답: B · n = 25이므로 median은 13번째 값. 누적 도수: 2, 7, 16 → 13번째는 20~30분 계급.

C 서술형 (FRQ) 5문항 · 모범답안과 채점 기준 포함

종이에 먼저 풀고 정답 보기로 모범답안·채점 기준(소문항 1점씩)과 비교하세요. 전부 맞으면 맞음, 아니면 틀림을 눌러 두면 틀린 문제만 다시 볼 수 있어요. 소문항을 하나도 빼지 말고 문맥(context)을 넣은 영어 문장으로 써 보세요.

[FRQ 1 · 4점] 11명의 학생이 어젯밤 숙제에 쓴 시간(분)은 다음과 같다. 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 55
(a) five-number summary를 구하시오. (b) 1.5×IQR 규칙으로 이상치를 판별하시오. (c) 상자그림을 어떻게 그리는지(수염의 끝, 이상치) 설명하시오. (d) 분포를 SOCS로 영어 문장으로 묘사하시오.

(a) 12, 15, 20, 24, 55 (median = 6번째 20, 아래 5개 {12, 14, 15, 17, 18}의 중앙값 15, 위 5개 {21, 23, 24, 26, 55}의 중앙값 24)
(b) IQR = 24 − 15 = 9. lower fence = 15 − 13.5 = 1.5, upper fence = 24 + 13.5 = 37.5. 55 > 37.5 → 55만 outlier.
(c) 상자 15~24, 중앙선 20, 수염은 12 ~ 26(이상치를 뺀 최댓값), 55는 점으로 따로.

수염은 12 ~ 26, 55는 이상치(점)

(d) "The distribution of homework time is skewed to the right with one outlier at 55 minutes. The median is 20 minutes and the data vary from 12 to 55 minutes with an IQR of 9 minutes."

채점 (각 1점)(a) 다섯 수 모두 정확 (b) IQR·두 울타리·55만 이상치라는 결론 (c) 수염 끝 26, 55는 별도 점, 상자 Q₁~Q₃ (d) 모양·이상치·중심·퍼짐을 문맥과 함께, skew/이상치가 있으므로 median·IQR 사용

[FRQ 2 · 6점] 코치가 선수 5명의 주당 연습 시간 x(시간)와 기록 점수 y(20점 만점)를 조사했다. (1, 9), (2, 7), (3, 7), (4, 9), (5, 13)
(a) 최소제곱회귀선을 구하시오. (b) 기울기를 문맥에 맞게 해석하시오. (c) (3, 7)의 잔차를 구하고 의미를 쓰시오. (d) 잔차를 구해 잔차도를 그리고 선형 모델이 적절한지 판단하시오. (e) r²를 구하고 해석하시오. (f) 코치가 x = 8시간인 선수의 점수를 이 모델로 예측해도 되는가?

(a) x̄ = 3, ȳ = 9. Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 0 + 2 + 0 + 0 + 8 = 10, Σ(x−x̄)² = 10 → b = 1, a = 9 − 1·3 = 6 → ŷ = 6 + x.
(b) "For each additional hour of weekly practice, the predicted score increases by 1 point, on average."
(c) ŷ(3) = 9, e = 7 − 9 = −2. 실제값이 직선 아래 → 모델이 overestimate.
(d) 잔차 +2, −1, −2, −1, +2 (합 0). U자 패턴 → "The residual plot shows a clear pattern, so the linear model is not appropriate; a nonlinear model would fit better."

잔차 +2, −1, −2, −1, +2 → U자 패턴

(e) SSR = 4 + 1 + 4 + 1 + 4 = 14, SST = Σ(y−9)² = 24 → r² = 1 − 14/24 ≈ 0.417. "About 41.7% of the variation in score is explained by the linear relationship with weekly practice hours."
(f) 아니오. 관측 범위가 1~5시간이라 8시간은 extrapolation(식으로는 14점)이어서 신뢰할 수 없다.

채점 (각 1점)(a) b와 a 모두 (b) 문맥·"on average"·단위 (c) −2와 overestimate (d) 잔차와 패턴 → 비선형이 더 적절 (e) 값 + 반응·설명변수를 올바르게 쓴 해석 (f) extrapolation 언급

[FRQ 3 · 4점] 두 과외 교사 A, B의 학생 합격 결과이다. A: Advanced 학생 20명 중 18명 합격, Beginner 학생 80명 중 32명 합격 / B: Advanced 80명 중 69명, Beginner 20명 중 7명 합격.
(a) 교사별 전체 합격률을 구하시오. (b) 학생 수준별로 합격률을 비교하시오. (c) 이 현상의 이름과 이유를 설명하시오. (d) 어느 교사의 성과를 더 공정하게 비교할 수 있는지 쓰시오.

(a) A: 50/100 = 50%, B: 76/100 = 76% → 합쳐서 보면 B가 훨씬 높다.
(b) Advanced: A 18/20 = 90% vs B 69/80 = 86.25%, Beginner: A 32/80 = 40% vs B 7/20 = 35% → 두 수준 모두 A가 높다.
(c) Simpson's paradox: 각 그룹에서의 경향(A 우세)이 합치면 뒤집힌다(B 우세). 학생의 수준이라는 confounding variable 때문이다. B는 합격률이 높은 Advanced 학생을 훨씬 많이(80명) 맡았고, A는 Beginner를 많이(80명) 맡았다.
(d) 학생 수준을 고려해 수준별로(그룹 안에서) 비교하는 것이 더 공정하며, 이 경우 A가 더 낫다. (관찰자료이므로 인과로 단정하지는 않는다)

채점 (각 1점)(a) 두 합격률 (b) 수준별 두 비교와 A 우세 결론 (c) 이름 + confounding variable과 그룹 크기 불균형 설명 (d) 수준별 비교

[FRQ 4 · 4점] 학생 600명(10학년 200명, 11학년 250명, 12학년 150명)인 학교에서 급식 만족도를 60명에게 조사하려 한다.
(a) 학년별 비례 배분 층화추출(stratified random sample) 방법을 설명하고 학년별 인원을 구하시오. (b) 12학년에서 난수표로 SRS 15명을 뽑는 절차를 쓰시오. (c) 계획 B: "점심시간에 식당 앞에 가장 먼저 도착하는 60명"은 어떤 편향이 걱정되는가? (d) 설문지를 나눠 줬는데 60명 중 36명만 답했다면 어떤 편향이 걱정되는가?

(a) 학년이 strata. 비례 배분: 60 × 200/600 = 20명, 60 × 250/600 = 25명, 60 × 150/600 = 15명. 각 학년에서 SRS로 뽑아 합친다.
(b) 12학년 학생에게 001~150 번호를 붙이고(세 자리), 난수표에서 시작점을 정해 세 자리씩 읽는다. 001~150이 아니거나 중복이면 건너뛰며 15명이 될 때까지 반복.
(c) Convenience sample(+ 일찍 가는 학생에 치우침): 식당에 일찍 오는 학생의 특성만 반영해 학교 전체를 대표하지 못한다 → 편향.
(d) Nonresponse bias: 선택은 됐지만 응답하지 않은 24명이 응답한 36명과 다를 수 있다.

채점 (각 1점)(a) 층 + 20·25·15명 + 층별 SRS (b) 자릿수·시작점·유효 번호 규칙(범위 밖·중복 제외) (c) convenience와 이유 (d) nonresponse와 이유

[FRQ 5 · 3점] 과자 한 봉지의 무게는 정규분포(평균 500 g, SD 20 g)를 따른다.
(a) 460 g ~ 540 g인 비율은? (b) 540 g을 초과하는 비율은? (c) 530 g인 봉지의 z-score를 구하고 의미를 쓰시오.

(a) 460 = μ − 2σ, 540 = μ + 2σ → 경험적 규칙으로 약 95%.
(b) ±2σ 밖은 100 − 95 = 5%, 대칭이므로 위쪽은 2.5%.
(c) z = (530 − 500)/20 = 1.5. 평균보다 표준편차 1.5개만큼 위에 있다.

채점 (각 1점)(a) 95% (b) 2.5% (c) z = 1.5와 의미(평균 위 1.5 SD)

D 추출법 적용 (시험 필출) 4문항 · 방법마다 한 문제 · 난수 줄 포함

선생님 공지

chap3 마지막 페이지의 추출법 적용은 반드시 나오고, 네 방법 중 하나가 나온대요. 어느 방법인지 모르니 4문제를 전부 풀어 보세요. 방법·읽는 규칙은 3.5절, 난수 읽기 검산은 검산 도구 ③.

난수 줄은 시작점이 이미 정해진 것으로 보고 맨 왼쪽부터 읽으면 돼요. 실제 시험에서는 시작점을 직접 고르고 그렇게 쓰면 됩니다. 종이에 영어로 먼저 써 본 뒤 정답 보기로 모범답안·채점 기준(각 1점)과 비교하세요.

[방법 적용 1 · SRS · 4점] 한 동아리의 회원은 80명이다. 난수표를 이용해 SRS로 6명을 뽑는 방법을 서술하고, 아래 난수 줄(왼쪽부터 읽기)에서 실제로 뽑히는 6명의 번호를 쓰시오.

94019 01890 86430 46818 41365 39691 94267 88920 67817 14085

방법: 회원 80명에게 01~80의 번호를 붙인다(두 자리). 난수표의 무작위 시작점에서 두 자리씩 왼쪽 → 오른쪽으로 읽는다. 01~80이면 그 회원을 선택하고, 00·81~99와 이미 뽑은 번호(중복)는 건너뛴다. 6명이 될 때까지 반복.
읽기: 94✗ 01✓ 90✗ 18✓ 90✗ 86✗ 43✓ 04✓ 68✓ 18(중복)✗ 41✓ → 선택: 01, 18, 43, 04, 68, 41

English"Label the members 01 to 80. Starting at the beginning of the line, read two-digit numbers from left to right. Select the member with that label if it is from 01 to 80, skipping numbers above 80, 00, and repeats, until 6 members are selected."

채점 (4점, 각 1점)① 번호 붙이기(01~80, 자릿수) ② 읽는 방법(두 자리, 방향) ③ 건너뛰는 규칙(범위 밖·중복) ④ 뽑힌 6명이 01, 18, 43, 04, 68, 41

[방법 적용 2 · Stratified · 4점] 학생이 150명(10학년 60명, 11학년 50명, 12학년 40명)인 학교에서 15명을 학년별 비례 배분 층화추출로 뽑으려 한다.
(a) 층(strata)을 정하고 이유를 쓰시오. (b) 학년별로 몇 명씩 뽑는지 계산하시오. (c) 12학년에서 뽑는 방법을 서술하고, 아래 난수 줄(레이블 01~40, 왼쪽부터)로 뽑히는 학생을 쓰시오.

16798 48505 81383 32893 70979 84337

(a) 학년이 strata. 같은 학년 학생들은 서로 비슷한 집단으로 묶이기 때문(층 안은 homogeneous).
(b) 비례 배분: 15 × 60/150 = 6명(10학년), 15 × 50/150 = 5명(11학년), 15 × 40/150 = 4명(12학년). 합 15.
(c) 12학년 40명에게 01~40 번호를 붙이고, 난수표에서 두 자리씩 읽어 01~40이면 선택(범위 밖·중복 건너뜀), 4명이 될 때까지. 다른 학년도 각각 SRS로 뽑아 합친다.
읽기: 16✓ 79✗ 84✗ 85✗ 05✓ 81✗ 38✓ 33✓ → 12학년 선택: 16, 05, 38, 33

채점 (4점, 각 1점)① 층 = 학년, 이유(층 안이 비슷) ② 6·5·4명과 계산 ③ 각 층 안에서 번호를 붙여 SRS(건너뛰는 규칙 포함) ④ 12학년 결과 16, 05, 38, 33

[방법 적용 3 · Cluster · 4점] 한 학교에는 반이 40개 있고 반마다 학생이 25명이다. 학생 100명에게 설문하려고 군집추출(반 단위)을 한다.
(a) 군집이 무엇이고 몇 개를 뽑아야 하는지 쓰시오. (b) 뽑는 방법을 서술하고, 아래 난수 줄(레이블 01~40, 왼쪽부터)로 뽑히는 반을 쓰시오.

09629 60225 94098 43805 69736 69019

(a) 군집 = 각 반(25명, 자연스러운 집단). 100 ÷ 25 = 4개 반을 뽑는다.
(b) 40개 반에 01~40 번호를 붙이고(개인이 아니라 반에), 난수표에서 두 자리씩 읽어 01~40이면 그 반을 선택(범위 밖·중복 건너뜀), 4개 반이 될 때까지. 선택된 반의 모든 학생(25명)을 조사 → 4 × 25 = 100명.
읽기: 09✓ 62✗ 96✗ 02✓ 25✓ 94✗ 09(중복)✗ 84✗ 38✓ → 선택한 반: 9, 2, 25, 38반

채점 (4점, 각 1점)① 군집 = 반, 필요한 군집 수 4 ② 반에 번호(01~40) ③ 난수 읽기와 건너뛰는 규칙 ④ 선택된 반의 전원 조사 + 결과 9, 2, 25, 38

[방법 적용 4 · Systematic · 4점] 학생 명단이 360명이다. 이 명단에서 24명을 계통추출하려 한다.
(a) 간격 k를 구하시오. (b) 방법을 서술하고, 아래 난수 줄(두 자리씩, 왼쪽부터)로 01~15 중 시작 번호를 정한 뒤 뽑히는 번호의 처음 세 개와 마지막 번호를 쓰시오.

88377 04252 22108 40962

(a) k = 360 / 24 = 15.
(b) 명단에 1~360 번호를 붙인다. 난수표에서 두 자리씩 읽어 01~15에 처음 들어오는 수를 시작 번호로 한다(범위 밖은 건너뜀). 이후 15번째마다 24명이 될 때까지 선택.
읽기: 88✗ 37✗ 70✗ 42✗ 52✗ 22✗ 10✓ → 시작 10. 선택: 10, 25, 40, … 마지막은 10 + 15 × 23 = 355(≤ 360 ✓)

채점 (4점, 각 1점)① k = 15 ② 1~N 번호와 방법(처음 k개 중 무작위 시작, 이후 k번째마다) ③ 난수로 시작 번호 10 ④ 10, 25, 40과 마지막 355

★ 마무리 시험 직전 한 장 요약

공식 한눈에

장	핵심 식과 값
1 중심·위치	x = Σx/n · median: n 홀수 (n+1)/2번째, 짝수 n/2번째와 n/2+1번째 평균 · z = (x − x)/s · AP 사분위수: median으로 반 나눠 각 절반의 median
1 퍼짐	s² = Σ(x − x)²/(n−1) (모집단 σ² = Σ(x − μ)²/n) · s = √s² · IQR = Q₃ − Q₁ · range = max − min
1 상자그림	Lower fence = Q₁ − 1.5·IQR, Upper fence = Q₃ + 1.5·IQR · 수염 = 이상치 제외 min·max · five-number summary는 그대로
1 정규분포	경험적 규칙 68–95–99.7 · 구간 34 / 13.5 / 2.35 / 0.15 % · 종 모양에서 σ ≈ range/6
2 이원표	conditional relative frequency = 칸 ÷ 행(열) 합 · marginal = 합계 ÷ 전체 · Simpson: 합치면 뒤집힐 수 있음
2 상관	r = (1/(n−1))Σ z_xz_y = Σ(x−x)(y−y) / √[Σ(x−x)²Σ(y−y)²] · −1 ≤ r ≤ 1 · strong \|r\| ≥ 0.7, weak < 0.5
2 회귀	b = r·s_y/s_x = Σ(x−x̄)(y−ȳ)/Σ(x−x̄)² · a = ȳ − b x̄ · ŷ = a + bx · (x̄, ȳ) 위 · e = y − ŷ, Σe = 0
2 r²	r² = 1 − SSR/SST = 1 − Σe²/Σ(y−ȳ)² = (r)² · r = ±√r² (부호는 기울기)
3 추출	SRS · stratified(층별 SRS, 비례배분 n_h = n·N_h/N) · cluster(군집 전원) · systematic(k = N/n, 처음 k개 중 무작위 시작) · 난수표: 레이블 자릿수 = N의 자릿수, 범위 밖·00..0·중복 건너뜀

자주 하는 실수

1장

skew 방향을 몰려 있는 쪽으로 말한다 → 꼬리 기준.
n이 홀수일 때 사분위수에서 중앙값을 양쪽 절반에 포함한다 (AP는 제외).
컴퓨터 quartile 함수 값을 그대로 쓴다 → AP 방식과 다를 수 있음.
상자그림 수염을 이상치 포함 max까지 그린다.
표본분산을 n으로 나눈다 (표본이면 n − 1).
SOCS 중 하나(특히 outlier·spread)를 빼먹거나 문맥 없이 쓴다.
skew 자료에서 mean·SD를 대표값으로 쓴다.
경험적 규칙 구간을 σ 단위로 바꾸지 않고 눈대중으로 푼다.

2장

r = 0을 "관계 없음"으로 해석한다 (선형 관계만).
|r|이 크면 기울기가 크다고 착각한다. 상관 ≠ 인과도 주의.
잔차를 ŷ − y로 계산하거나 부호 해석을 반대로 한다.
a를 b보다 먼저 구하려 한다 (a = ȳ − b x̄ 이므로 b 먼저).
r² 해석에서 response와 explanatory를 뒤바꾸고 context를 빼먹는다.
범위 밖 x에 예측을 한다 (extrapolation).
잔차도에 패턴이 있는데 r²만 보고 "선형 모델 좋음"이라고 쓴다.
Simpson: 합친 표만 보고 결론내린다. 조건부와 joint를 헷갈린다.

3장

Undercoverage(선택될 기회가 없음)와 nonresponse(선택됐지만 응답 안 함)를 혼동한다.
Stratified(층 안은 비슷, 모든 층에서 일부)와 cluster(군집 안은 다양, 일부 군집의 전원)를 혼동한다.
관찰연구에서 인과를 결론내린다 (experiment + random assignment만 가능).
난수표 적용 서술: 번호를 안 붙이거나(자릿수 오류: 450명인데 두 자리로 읽기), 범위 밖·중복을 건너뛴다는 규칙을 빠뜨린다. 층화는 각 층 안에서, 군집은 군집에 번호를 붙이고 뽑힌 군집은 전원 조사, 계통은 k = N/n과 1~k 중 무작위 시작.
"표본이 크면 편향이 사라진다"고 생각한다 — variability만 줄고 bias는 그대로.

검산 도구

연습문제를 직접 풀고 답을 확인하거나, 자기가 만든 자료로 연습할 때 쓰는 계산기예요. 사분위수는 AP 방식, 분산은 n−1(표본)로 계산합니다. (시험에서는 계산기를 쓰되 풀이 과정은 직접 써야 해요.)

① 한 변수: 요약값 · 상자그림

숫자를 띄어쓰기·쉼표·줄바꿈으로 구분해서 입력하세요.

② 두 변수: 상관 · 최소제곱회귀 · 잔차

(x, y) 쌍을 한 줄에 하나씩, 또는 (1,16), (2,14) …처럼 입력하세요. 2개 이상 필요해요.

③ 난수표 읽기 · 계통추출 목록 (Random sampling method 연습)

레이블이 1~N이면 N의 자릿수만큼 왼쪽 → 오른쪽으로 읽고, 범위 밖·000·중복은 건너뛰어 n개를 모아 줘요. 층화추출은 층마다(N = 그 층의 크기), 군집추출은 군집 번호(N = 군집 수)에 같은 방식으로 쓰면 됩니다. 직접 읽어 본 뒤 맞는지 확인하세요.

레이블 수 N 뽑을 개수 n

계통추출 목록

명단 수 N 표본 크기 n 시작 번호