Chap 3 Collecting Data · Experiments · Chap 4 Probability

표본추출, 실험 설계, 확률을
노트 한 권으로 정리

완전 무작위 설계(CRD)
그리는 거 기말고사 나온다!

출처이 단원은 중간고사 때 정리한 Ch3 프린트(1–4쪽) 내용입니다. 실험 설계(5–7쪽)는 다음 탭에 있어요.

3.1

자료 수집의 세 가지 접근

"Garbage in, garbage out." 통계적 결론의 질은 그 밑바탕이 되는 자료의 질만큼만 좋습니다.

접근	무엇을 하나	할 수 있는 결론
Census전수조사	모집단의 모든 개체에서 자료를 수집	이상적으로 들리지만 비싸고 비현실적. 측정 오류가 쌓여 잘 설계한 표본보다 부정확할 수도 있음
Observational study관찰연구	처치 없이 관찰·기록. 가장 흔한 형태가 survey(설문조사)	association은 찾지만 causation은 입증 못 함. confounding(lurking) variable이 늘 위협
Experiment실험	연구자가 treatment를 의도적으로 부과하고 반응을 관찰	random assignment가 있으면 causation을 보일 수 있음

프린트 빈칸관찰연구의 가장 흔한 형태 = survey · 찾을 수 있는 것 = association · 항상 위협 = confounding variables · 실험에서 부과하는 것 = treatment · 입증할 수 있는 것 = causation

3.2

나쁜 표본추출과 편향 How to sample badly

Bias: 표본 설계가 모집단의 어떤 부분을 체계적으로 과대 또는 과소 대표해서 결론이 현실을 반영하지 못하는 상태.

종류	뜻	예
Voluntary response	스스로 참여를 선택한 표본. 강한 의견을 가진 사람이 훨씬 많이 응답	학교 웹사이트 투표, 방송 call-in
Convenience	가장 만나기 쉬운 사람을 고름. 쉽게 닿는 것은 대표하는 것이 아님	급식실 앞 지나가는 학생
Undercoverage	일부 집단이 추출 과정에서 체계적으로 빠짐 (선택될 확률이 0이거나 낮음)	유선전화 번호부로만 조사
Nonresponse bias	선택은 됐지만 응답하지 않음. 무응답자는 응답자와 다를 수 있음	우편 설문의 낮은 회수율
Response bias	응답은 했지만 부정확하게 답함 (의도적이든 무의식이든)	민감한 질문(지각 횟수, 음주)에 거짓말
Wording bias	질문 문구가 특정 답으로 유도	"…을 개선할 필요가 없다고 생각하지 않으십니까?"

자주 헷갈리는 쌍Undercoverage = 선택될 기회 자체가 없었다. Nonresponse = 선택은 됐지만 참여하지 않았다. Response bias는 응답했지만 부정확, Wording bias는 질문 문구가 원인.

3.3

좋은 표본추출: Random sampling

편향의 근본적인 해결책은 무작위 추출입니다. 우연으로 선택되면 어떤 집단도 체계적으로 유리하지 않습니다.

Sampling variability

같은 모집단에서 뽑은 서로 다른 무작위 표본은 서로 다른 statistic을 만든다. 무작위 추출의 피할 수 없는 결과.

Sampling error

표본 statistic과 실제 parameter의 차이. 결함이 아니라 표본만 관찰하는 데서 오는 자연스러운 결과.

핵심sampling variability와 sampling error는 예측하고 수량화할 수 있지만 bias는 그렇지 못합니다. 표본 크기를 키우면 variability는 줄지만 bias는 사라지지 않아요.

3.4

네 가지 무작위 추출법

방법	절차	특징
SRSSimple Random Sample	크기 n인 가능한 모든 표본이 같은 확률로 뽑힘	가장 기본. 난수표·난수 생성기 사용
Stratified층화추출	비슷한(homogeneous) 개체끼리 층(strata)으로 나누고 각 층에서 SRS → 합침	층 기준: 나이·성별·학년 등. 비례 배분(proportional)은 층 크기에 비례해서 뽑음
Cluster군집추출	다양한(heterogeneous) 구성의 군집으로 나누고 군집 몇 개를 무작위로 골라 그 안의 전원 조사	자연스러운 집단(반·학교·동네)의 목록만 있을 때
Systematic계통추출	처음 k개 중 하나를 무작위로 고르고 이후 k번째마다 포함	k ≈ N / n

Stratified vs ClusterStratified: 층 안은 비슷, 층끼리는 다름 → 모든 층에서 일부를 뽑음. Cluster: 군집 안이 다양(모집단의 축소판) → 일부 군집을 골라 전원 조사.

예제: KMLA 450명(학년당 150명, 학년마다 10반)에서 30명

SRS	001–450 번호. 난수표에서 세 자리씩 읽어 001–450이면 선택, 450 초과·000·중복은 건너뛰고 30명까지
Stratified	학년이 strata. 학년마다 001–150 번호, 각 학년에서 SRS로 10명씩 (150:150:150 → 10:10:10)
Cluster	15명씩 30개 반이 군집. 반에 01–30 번호, 두 자리 난수로 2개 반을 뽑아 전원 조사 (2 × 15 = 30명)
Systematic	1–450 번호, k = 450/30 = 15. 01–15 중 시작 번호(예: 7) → 7, 22, 37, …, 마지막 7 + 15×29 = 442

3.5

Random sampling method 적용 시험 필출! 넷 중 하나

선생님 공지: chap3 마지막 페이지의 추출법 적용은 반드시 나오고 네 방법 중 하나가 나옵니다. 넷 다 쓸 수 있어야 해요.

난수표 읽기 도구

내가 읽은 결과가 맞는지 확인하세요. 자릿수는 가장 큰 레이블에 맞춰 자동으로 정해집니다.

난수 줄 레이블 최대 뽑을 수

방법	답안에 순서대로 쓸 것	감점 포인트
SRS	① 전체에 번호(자릿수 = N의 자릿수) ② 무작위 시작점 ③ 자릿수만큼 왼쪽→오른쪽으로 읽기 ④ 범위 밖·000·중복 건너뜀 ⑤ n명까지	자릿수 틀림, 번호 안 붙임, 중복 허용, 건너뛰는 규칙 누락
Stratified	① 층 정의(층 안이 비슷한 기준) ② 층별 인원(n × N_h/N) ③ 각 층 안에서 번호 붙여 SRS ④ 합치기	층 근거 없음, 배분 계산 없음, "각 층에서" 빠뜨림
Cluster	① 군집 정의(자연스러운 집단) ② 군집에 번호 ③ 군집 c개 선택(c = n ÷ 군집 크기) ④ 뽑힌 군집 전원 조사	군집 안에서 일부만 뽑음, 개인에게 번호, 군집 수 계산 누락
Systematic	① 1–N 번호 ② k = N ÷ n ③ 난수로 1–k 중 시작 ④ 시작, 시작+k, 시작+2k, …	시작을 1로 고정, 시작이 k 초과, 마지막 번호가 N 초과

영어 답안 템플릿 (KMLA 450명 → 30명)

SRS

"Label all 450 students 001 to 450. Starting at a randomly chosen place in the random digit table, read three-digit numbers from left to right. Select the student whose label matches each number from 001 to 450. Skip numbers greater than 450, 000, and any repeats. Continue until 30 different students have been selected."

Stratified

"Divide the students into three strata by grade, since students in the same grade are similar. Within each grade, label the students 001 to 150. Using the random digit table, select an SRS of 10 students from each grade (skipping numbers above 150 and repeats). Combine the three groups to get the 30 students."

Cluster

"The 450 students are in 30 homerooms of 15 students (each homeroom is a cluster). Label the homerooms 01 to 30. Using the random digit table, read two-digit numbers and select 2 different homerooms (skipping numbers outside 01–30 and repeats). Survey every student in the 2 selected homerooms."

Systematic

"Label the students 1 to 450. The sampling interval is k = 450/30 = 15. Use the random digit table to choose a random starting number between 01 and 15. If the start is 7, select students 7, 22, 37, …, every 15th student, until 30 students are selected (the last is 442)."

Counting and Notation 경우의 수

정수 r, n이 0 ≤ r ≤ n일 때 쓰는 세 가지 공식입니다.

개념	공식	언제 쓰나
Factorial n!	n! = n(n−1)⋯2·1, 0! = 1	n개를 일렬로 나열
Permutation _nP_r	n(n−1)⋯(n−r+1) = n!(n−r)!	r개를 뽑아서 순서대로 나열 (= _nC_r × r!)
Combination _nC_r	n!r!(n−r)!	r개를 뽑기만 함 (순서 무관)

n r 숫자를 바꾸면 바로 계산됩니다.

Sampling with replacement: 뽑은 것을 다시 넣고 다음 것을 뽑음. 뽑고 다시 넣고 뽑고
Sampling without replacement: 뽑은 것을 다시 넣지 않음. 위의 순열·조합 공식은 모두 비복원을 가정합니다.

0-2

Sets and Probability Notation

Sample space S는 가능한 모든 결과의 집합모든 결과들의 집합, event A는 S의 부분집합입니다.

표기	뜻
P(A)	사건 A가 일어날 확률
A^c	Not A; A의 여사건 (complement)
A ∪ B	A or B
A ∩ B	Both A and B
A ∩ B = ∅	A와 B는 disjoint (= mutually exclusive). 동시에 일어날 수 없음

노트 정정필기에는 disjoint 칸이 A∩B ≠ ∅로 적혀 있는데, disjoint는 교집합이 비어 있다는 뜻이라 A∩B = ∅가 맞습니다.

Understanding Probability

확률은 사건이 일어날 가능성을 나타내는 수치이고, 다음을 만족합니다.

확률의 조건

0 ≤ P(A) ≤ 1
불가능한 사건(impossible): P(A) = 0
반드시 일어나는 사건(certain): P(A) = 1

두 가지 관점

Theoretical P(A) = A에 속한 결과 수표본공간의 전체 결과 수
Empirical P(A) = 처음 n번 중 A가 나온 횟수전체 시행 횟수

The Law of Large Numbers 시험 안 나옴 (참고)

독립이고 같은 분포를 따르는 시행을 계속 늘리면, 사건의 상대도수가 진짜 확률에 가까워집니다. X_i = 1(i번째에 A 발생), 0(아니면)이라 하면 p_n = 1n Σ X_i.

Weak LLN

lim_n→∞ P(|p_n − p| > ε) = 0

n이 커질수록, 정해 둔 오차 ε보다 크게 벗어날 확률이 0으로 갑니다.

Strong LLN

P(lim_n→∞ p_n = p) = 1

확률 1로, 관측된 상대도수의 수열 자체가 p로 수렴합니다.

동전 던지기 시뮬레이터

The Gambler's Fallacy독립적인 무작위 과정에서 과거 결과가 "균형을 맞추는" 결과를 더 잘 나오게 만든다고 믿는 오류. 앞면이 5번 연속 나와도 다음 번 뒷면 확률은 여전히 12입니다. LLN은 "장기적으로" 수렴한다는 말이지, 짧은 구간에서 보정해 준다는 말이 아닙니다.

Basic Probability Rules

부분집합	A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Complement Rule	P(A^c) = 1 − P(A)
Addition Rule	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Disjoint일 때	P(A ∩ B) = 0 ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Problem set #1에서 같이 쓰는 도구

교집합의 범위

max(0, P(A)+P(B)−1) ≤ P(A∩B) ≤ min(P(A), P(B))

왼쪽은 P(A∪B) ≤ 1에서, 오른쪽은 A∩B ⊂ A, A∩B ⊂ B에서 나옵니다.

드모르간 법칙

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c, (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

"적어도 하나" 문제는 여사건(아무것도 안 일어남)으로 바꾸면 쉬워집니다.

Planning and Conducting Experiments

관찰연구(observational study)는 두 변수가 연관되어 있다(associated)는 것까지만 보여 줍니다. 연관은 인과가 아닙니다. 한쪽이 다른 쪽을 일으킨다고 주장하려면 실험이 필요합니다.

실험의 정의실험은 조건을 조작하고(manipulates conditions), 피험자를 그 조건에 무작위로 배정하고(randomly assigns), 그룹 간 반응을 비교합니다(compares responses). 인과적 결론을 뒷받침할 수 있는 유일한 설계입니다.

예시: 태현이의 수면 실험 관찰 → 연관성 / 실험 → 인과

1년 반의 기숙사 생활에서 수면시간과 집중력 사이의 상관관계를 봤고(관찰연구), "더 긴 수면이 높은 집중력을 만든다"를 보이려고 실험을 계획했다.

Subjects: 자원한 친구 28명 (experimental units)
Random assignment: 주사위를 던져 3의 배수 → 8시간, 나머지 1 → 6시간, 나머지 2 → 4시간 (9명 / 9명 / 10명)
Factor: 수면 시간
Levels: 8시간, 6시간, 4시간 (기상 7:30 고정, 취침 11:30 / 1:30 / 3:30)
Response: 10분간 외운 영어 단어 수 → 평균 29개, 25개, 24개
Confounding: 4시간 그룹만 늦게까지 깨어 있으려고 커피·에너지 드링크를 마심 → 카페인 효과와 수면 효과를 분리할 수 없음
주의할 점: 원래 잠이 적은 사람(short sleeper) 같은 개인차가 있어서 replication(충분한 인원)이 중요함

2-1

Key Vocabulary

용어	정의

핵심Confounding은 관찰연구가 인과를 증명할 수 없는 가장 큰 이유입니다. 실험은 random assignment로 confounding을 막습니다.

2-2

Principles of Experimental Design

(1) Control

처치 이외의 모든 변수를 그룹 간에 최대한 같게 유지. 그룹 사이의 체계적인 차이는 처치 하나뿐이어야 합니다.

(2) Randomization 가장 중요

실험 단위를 처치 그룹에 무작위로 배정. 알려진 것이든 아니든 confounding 변수가 우연에 의해 그룹 간에 고르게 퍼집니다.

(3) Replication

충분히 많은 피험자에게 처치를 반복 적용. 한 명의 특이한 피험자 때문에 생긴 우연한 차이가 아니라 진짜 차이가 보이게 합니다. 실험할 땐 subject가 충분해야 함

(4) Blocking — Reducing Variability

실험 단위들이 중요한 면에서 서로 다를 때(예: 성별에 따라 새 공부법 반응이 다름), 무작위 배정 전에 비슷한 단위끼리 묶어 잡음을 줄입니다.

2-3

Design of Experiment

(1) Completely Randomized Design 이거 그리는 거 기말고사 나온다

모든 피험자를 처치 그룹에 한 번에 무작위 배정합니다. 배정 방법: 주사위, 동전, random digit table, 이름표 섞어 뽑기.

(2) Randomized Block Design

언제 쓰나

반응에 영향을 줄 것 같은 특성(성별, 학년, 기존 실력 등)으로 뚜렷하게 나뉘는 기준이 있을 때.

헷갈리는 포인트

블록으로 나누는 건 무작위가 아님(특성으로 나눔). 무작위 배정은 각 블록 안에서 따로 합니다. 결과도 블록 안에서 비교합니다.

Problem 1 · 클래식 음악 실험

연구자가 공부하면서 클래식 음악을 들으면 시험 점수가 오르는지 알고 싶어 고등학생 60명을 모집했다.

Factor	공부할 때의 음악 조건 (클래식 음악을 듣는지)
Levels	클래식 음악 들음 / 음악 없음 (2개)
Treatments	요인이 하나라 처치 = 수준: ① 클래식 음악 들으며 공부 ② 음악 없이 공부
Response	시험 점수
Blinding	피험자는 음악을 듣는지 스스로 알기 때문에 피험자 blind는 불가능 → double-blind도 불가능. 다만 채점자가 누가 어느 그룹인지 모르게 하는 것(평가자 blind)은 가능합니다.
Confounding 후보	배경지식, 평소 듣는 음악 취향, 학생의 기본 실력, 평소 학습 태도. 학생이 그룹을 스스로 고르면 이런 요인이 처치와 엉켜 버리므로 무작위 배정으로 고르게 퍼뜨려야 합니다.

노트 보완필기의 Treatments 칸에는 "Listening to classical music" 하나만 적혀 있는데, 비교 대상인 "음악 없이 공부"도 처치에 포함해서 두 개로 쓰는 게 정확합니다.

표본추출, 실험 설계, 확률을노트 한 권으로 정리

자료 수집의 세 가지 접근

나쁜 표본추출과 편향 How to sample badly

좋은 표본추출: Random sampling

Sampling variability

Sampling error

네 가지 무작위 추출법

예제: KMLA 450명(학년당 150명, 학년마다 10반)에서 30명

Random sampling method 적용 시험 필출! 넷 중 하나

영어 답안 템플릿 (KMLA 450명 → 30명)

SRS

Stratified

Cluster

Systematic

Counting and Notation 경우의 수

Sets and Probability Notation

Understanding Probability

확률의 조건

두 가지 관점

The Law of Large Numbers 시험 안 나옴 (참고)

Weak LLN

Strong LLN

Basic Probability Rules

Problem set #1에서 같이 쓰는 도구

교집합의 범위

드모르간 법칙

Planning and Conducting Experiments

Key Vocabulary

Principles of Experimental Design

(1) Control

(2) Randomization 가장 중요

(3) Replication

(4) Blocking — Reducing Variability

Design of Experiment

(1) Completely Randomized Design 이거 그리는 거 기말고사 나온다

(2) Randomized Block Design

언제 쓰나

헷갈리는 포인트

Problem 1 · 클래식 음악 실험

문제 풀기

실험 설계도 그리기

용어 카드

표본추출, 실험 설계, 확률을
노트 한 권으로 정리