3.10 – 4.5 시험 직전 학습 노트
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3 Differentiation Rules (3.10 – 3.11)
3.10 Linear Approximations and Differentials 교재 p.254–260
핵심 아이디어: 접점 근처에서 곡선은 접선과 거의 같다 → 계산이 어려운 값을 접선으로 근사.
■Linearization and Approximation (선형화와 근사)
$x=a$에서 $f$의 선형화(linearization):
선형근사(tangent line approximation): $\;f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\;$ ($x$가 $a$ 근처일 때)
- $L(x)$ = 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식 그 자체.
- $a$에서 멀어질수록 오차가 커진다 (예: $\sqrt{x+3}$의 선형화는 $x=1$ 근처에서만 정확).
- 과대/과소 추정 판정: 접선이 곡선 위에 있으면 과대추정(overestimate) → $f''<0$(위로 볼록·CD)일 때. 접선이 곡선 아래이면 과소추정 → $f''>0$(CU)일 때.
- 오차 범위 문제 ("accurate to within 0.1"): $|f(x)-L(x)|<0.1$, 즉 $L(x)-0.1<f(x)<L(x)+0.1$을 만족하는 $x$ 구간을 그래프의 교점으로 찾는다.
예: $\ln 1.04\approx 0.04$, $\;1/9.98=(10-0.02)^{-1}\approx 0.1002$, $\;\sqrt{4.02}\approx2+\tfrac{0.02}{4}=2.005$.
예제 1 · 함수 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 의 $a=1$ 에서의 선형화를 구하고, 이를 이용하여 $\sqrt{3.98}$ 과 $\sqrt{4.05}$ 의 근삿값을 구하시오. 이 근삿값은 실제 값보다 큰가, 작은가?
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}$, $f(1)=2$, $f'(1)=\dfrac14$.
$L(x)=2+\dfrac14(x-1)=\dfrac74+\dfrac x4$.
$\sqrt{3.98}=f(0.98)\approx \dfrac74+\dfrac{0.98}{4}=1.995$, $\;\sqrt{4.05}=f(1.05)\approx\dfrac74+\dfrac{1.05}{4}=2.0125$.
접선이 곡선 위에 있으므로 과대추정 (실제: 1.99499…, 2.01246…).
■Applications to Physics (물리에서의 응용)
- 진자(pendulum): $a_T=-g\sin\theta$ 에서 $\sin\theta\approx\theta$ 로 바꿔 주기 $T\approx 2\pi\sqrt{L/g}$ 를 유도 → 이것이 곧 $x=0$ 에서 사인함수의 선형근사.
- 근축광학(paraxial optics): 작은 각 $\theta$에 대해 $\sin\theta\approx\theta$, $\cos\theta\approx1$ → 렌즈 설계의 기본 이론.
- $\theta=\pi/18$ (10°)에서 $\sin\theta\approx\theta$ 를 쓰면 오차는 약 0.5% 수준으로 매우 작다 (교재 연습문제 50).
■Differentials (미분소)
$y=f(x)$ 일 때, $dx$는 독립변수(임의의 실수), $dy$는 종속변수:
- $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ : 곡선이 실제로 변한 양
- $dy=f'(x)\,dx$ : 접선이 변한 양 (선형화의 변화량)
- $dx=\Delta x$ 가 작을수록 $\Delta y\approx dy$ 가 정확 (그리고 $dy$가 계산하기 훨씬 쉽다).
$dx=x-a$ 로 두면 선형근사 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ 와 동일.
측정값의 오차 $dx=\Delta x$ → 계산값의 오차 $\Delta y\approx dy=f'(x)\,dx$.
멱함수 $y=x^n$ 이면 $\dfrac{dy}{y}=n\,\dfrac{dx}{x}$ : 상대오차는 지수 배가 된다. (구의 부피 $V=\frac43\pi r^3$ → $\dfrac{dV}{V}=3\dfrac{dr}{r}$, 혈류 $F=kR^4$ → $\dfrac{dF}{F}=4\dfrac{dR}{R}$: 반지름이 5% 증가하면 혈류는 약 20% 증가.)
예제 3 · $y=f(x)=x^3+x^2-2x+1$ 에서 $x$ 가 (a) 2에서 2.05로, (b) 2에서 2.01로 변할 때 $\Delta y$ 와 $dy$ 의 값을 각각 구하고 서로 비교하시오.
$f(2)=9$, $dy=(3x^2+2x-2)\,dx=(12+4-2)\,dx=14\,dx$.
(a) $\Delta y=f(2.05)-f(2)=9.717625-9=0.717625$, $\;dy=14(0.05)=0.7$.
(b) $\Delta y=9.140701-9=0.140701$, $\;dy=14(0.01)=0.14$.
→ $\Delta x$ 가 작아질수록 $\Delta y\approx dy$ 가 더 정확해진다.
예제 4 · 구의 반지름을 측정하였더니 21 cm 이고, 측정 오차는 최대 0.05 cm 이다. 이 값으로 구의 부피를 계산할 때 생기는 최대 오차를 미분소를 이용하여 구하고, 부피의 상대오차도 구하시오.
$V=\frac43\pi r^3\Rightarrow dV=4\pi r^2\,dr=4\pi(21)^2(0.05)\approx 277\ \text{cm}^3$.
상대오차: $\dfrac{dV}{V}=3\dfrac{dr}{r}=3\cdot\dfrac{0.05}{21}\approx0.007$ → 약 0.7% (반지름 자체의 상대오차는 약 0.24%).
접선(1차)보다 더 나은 근사: $\;P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ (값·1계·2계 도함수가 $a$에서 모두 일치).
$n$차로 확장: $\;T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ (Taylor 다항식, 11장에서 본격적으로). 예) $\cos x\approx 1-\dfrac{x^2}{2}$.
- 선형화 계산 시 $a$는 함수값·도함수값을 정확히 알 수 있는 가까운 점으로 고른다 ($\sqrt{4.05}\to a=4$).
- $dy$ 와 $\Delta y$ 를 혼동 금지. 문제에서 "differentials를 이용해"라고 하면 $dy=f'(x)dx$ 를 쓴다.
- 각도 문제는 반드시 라디안으로 변환 ($30^\circ=\pi/6$, 오차 $1^\circ=\pi/180$).
3.11 Hyperbolic Functions 교재 p.261–266
$e^x$ 와 $e^{-x}$ 의 조합. 삼각함수가 단위원 $x^2+y^2=1$ 과 연결되듯, 쌍곡함수는 쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 과 연결된다.
■Hyperbolic Functions and Their Derivatives (쌍곡함수와 그 도함수)
그래프 성질
| 함수 | 정의역 | 치역 | 대칭 |
|---|---|---|---|
| $\sinh x$ | $\mathbb R$ | $\mathbb R$ | 홀함수(odd) |
| $\cosh x$ | $\mathbb R$ | $[1,\infty)$ | 짝함수(even) |
| $\tanh x$ | $\mathbb R$ | $(-1,1)$ | 홀함수 |
$\tanh$ 의 수평점근선: $y=\pm1$. $\cosh 0=1,\ \sinh0=0,\ \tanh 0=0$.
→ 배각: $\sinh2x=2\sinh x\cosh x$, $\ \cosh2x=\cosh^2x+\sinh^2x$. 삼각항등식 $\cos^2+\sin^2=1$ 과 부호가 다르다(빼기!)는 점이 이름 “hyperbolic”의 유래.
| $\dfrac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$ | $\dfrac{d}{dx}\operatorname{csch}x=-\operatorname{csch}x\coth x$ |
|---|---|
| $\dfrac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$ | $\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech}x=-\operatorname{sech}x\tanh x$ |
| $\dfrac{d}{dx}\tanh x=\operatorname{sech}^2x$ | $\dfrac{d}{dx}\coth x=-\operatorname{csch}^2x$ |
삼각함수 도함수와 비교: $\sinh\to\cosh$, $\cosh\to\sinh$ 에서는 마이너스가 없다(cos의 도함수는 $-\sin$ 이었음!). "co-" 가 붙은 csch, sech, coth 쪽에 마이너스가 붙는다.
- 현수선(catenary): 양 끝을 같은 높이에 매단 무거운 유연한 줄(전선, 사슬)의 모양 $\;y=c+a\cosh\!\left(\dfrac xa\right)$. (세인트루이스 게이트웨이 아치도 cosh 기반)
- 물결(ocean wave): 파장 $L$, 수심 $d$ 인 파도의 속도 $v=\sqrt{\dfrac{gL}{2\pi}\tanh\dfrac{2\pi d}{L}}$.
- 기하적 의미: 점 $(\cosh t,\sinh t)$ 는 쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 의 오른쪽 가지 위에 있으며, $t$ = 쌍곡선 부채꼴 넓이의 2배 (각도가 아님).
예제 1 · 다음 항등식을 증명하시오. (a) $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ (b) $1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$
(a) $\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}2\right)^2-\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}2\right)^2=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4-\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4=\dfrac44=1$.
(b) (a)의 양변을 $\cosh^2x$ 로 나눈다: $1-\tanh^2x=\dfrac1{\cosh^2x}=\operatorname{sech}^2x$.
예제 2 · $y=\cosh\sqrt x$ 일 때 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 구하시오.
■Inverse Hyperbolic Functions and Their Derivatives (역쌍곡함수와 도함수)
- $\sinh,\tanh$ 는 일대일(one-to-one) → 역함수 $\sinh^{-1},\tanh^{-1}$ 존재.
- $\cosh$ 는 일대일이 아니므로 정의역을 $[0,\infty)$ 로 제한해서 역함수를 정의.
| 함수 | 정의역 | 치역 |
|---|---|---|
| $\sinh^{-1}x$ | $\mathbb R$ | $\mathbb R$ |
| $\cosh^{-1}x$ | $[1,\infty)$ | $[0,\infty)$ |
| $\tanh^{-1}x$ | $(-1,1)$ | $\mathbb R$ |
| $\dfrac{d}{dx}\sinh^{-1}x=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$ | $\dfrac{d}{dx}\operatorname{csch}^{-1}x=-\dfrac1{|x|\sqrt{x^2+1}}$ |
|---|---|
| $\dfrac{d}{dx}\cosh^{-1}x=\dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$ | $\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech}^{-1}x=-\dfrac1{x\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\dfrac{d}{dx}\tanh^{-1}x=\dfrac1{1-x^2}$ | $\dfrac{d}{dx}\coth^{-1}x=\dfrac1{1-x^2}$ |
$\tanh^{-1}$ 와 $\coth^{-1}$ 의 도함수는 식이 같지만 정의역이 다르다: $|x|<1$ vs $|x|>1$.
예제 3 · $\sinh^{-1}x=\ln\!\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)$ 임을 보이시오.
$y=\sinh^{-1}x$ 라 하면 $x=\sinh y=\dfrac{e^y-e^{-y}}2$. 양변에 $2e^y$ 를 곱해 $e^{2y}-2xe^y-1=0$.
$e^y$ 에 대한 이차방정식: $e^y=x\pm\sqrt{x^2+1}$. $e^y>0$ 이고 $x-\sqrt{x^2+1}<0$ 이므로 플러스만 가능.
따라서 $y=\ln\!\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)$.
예제 4 · $\dfrac d{dx}\sinh^{-1}x=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$ 임을 증명하시오.
$\sinh y=x$ 를 음함수 미분: $\cosh y\,\dfrac{dy}{dx}=1$. $\cosh y>0$ 이고 $\cosh^2y=1+\sinh^2y=1+x^2$ 이므로
$$\frac{dy}{dx}=\frac1{\cosh y}=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$예제 5 · $\dfrac d{dx}\big[\tanh^{-1}(\sin x)\big]$ 를 구하시오.
- $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ (빼기). $\cos^2+\sin^2=1$ 과 헷갈리지 말 것.
- $\dfrac d{dx}\cosh x=+\sinh x$ (마이너스 없음).
- $\cosh^{-1}$ 의 정의역은 $x\ge1$, $\tanh^{-1}$ 는 $|x|<1$ — 로그 표현식의 근호/분모가 정의되는 범위와 같다.
- 역쌍곡함수의 도함수는 삼각 역함수와 비슷하지만 $\sinh^{-1}$ : $\sqrt{1+x^2}$, $\cosh^{-1}$ : $\sqrt{x^2-1}$ (부호 주의).
🧪 Chapter 3 연습문제 (3.10 – 3.11) 풀고 나서 정답 확인 → 채점
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▸3.10 선형근사 · 미분소
$L(x)=-9+16(x+2)=\boxed{16x+23}$
$L(x)=\boxed{\tfrac12-\sqrt3\left(x-\tfrac\pi6\right)}$
$\cos29^\circ$: $a=30^\circ=\frac\pi6$, $dx=-1^\circ=-\frac\pi{180}$. $\cos x\approx\frac{\sqrt3}2-\frac12\left(-\frac\pi{180}\right)=\frac{\sqrt3}2+\frac\pi{360}\approx\boxed{0.8748}$ (실제 0.87462)
(b) $S=6x^2$, $dS=12x\,dx=12(30)(0.1)=\boxed{36\ \text{cm}^2}$, 상대오차 $\frac{36}{5400}\approx0.0067$ → 약 0.67%.
(검산: 상대오차 = 지수 × $dx/x$ → $3\times0.33\%=1\%$, $2\times0.33\%=0.67\%$)
▸3.11 쌍곡함수
(a) $\frac{5+1/5}2=\boxed{\frac{13}5}$ (b) $\frac{4-1/4}2=\boxed{\frac{15}8}$ (c) $\frac{2-1/2}{2+1/2}=\boxed{\frac35}$
(b) $\boxed{2e^{2x}\operatorname{sech}^2(1+e^{2x})}$
(c) $\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}\sec^2x=\dfrac{\sec^2x}{|\sec x|}=\boxed{|\sec x|}$
4 Applications of Differentiation (4.1 – 4.5)
4.1 Maximum and Minimum Values 교재 p.280–289
최적화(optimization)의 출발점: 함수의 최댓값·최솟값을 어떻게 찾는가.
■Absolute and Local Extreme Values (절대·국소 극값)
$c\in D$ 일 때
- 절대최댓값 $f(c)$ : 모든 $x\in D$ 에서 $f(c)\ge f(x)$
- 절대최솟값 $f(c)$ : 모든 $x\in D$ 에서 $f(c)\le f(x)$
- 국소최댓값 $f(c)$ : $x$ 가 $c$ 근처일 때 $f(c)\ge f(x)$
- 국소최솟값 $f(c)$ : $x$ 가 $c$ 근처일 때 $f(c)\le f(x)$
"근처" = $c$ 를 포함하는 열린구간 → 국소 극값은 끝점에서 생길 수 없다.
최댓값·최솟값을 통틀어 극값(extreme values)이라 한다.
$f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이면, $f$ 는 $[a,b]$ 안의 어떤 $c,d$ 에서 절대최댓값 $f(c)$ 와 절대최솟값 $f(d)$ 를 갖는다.
- 두 가정(연속, 닫힌구간) 중 하나라도 빠지면 극값이 없을 수 있다.
- 불연속 예: $[0,2]$ 에서 정의되었지만 값이 3에 한없이 가까워질 뿐 도달 못 하는 함수 → 최댓값 없음.
- 열린구간 예: $(0,2)$ 에서 연속인 $g$ 가 발산 → 최댓값·최솟값 없음.
- 극값은 여러 번 나타날 수 있다 (예: $\cos x$ 의 최댓값 1은 무한히 많은 점에서).
- 예시 모음: $x^2$ → 최솟값 0, 최댓값 없음 / $x^3$ → 절대·국소 극값 모두 없음.
예제 1 · 함수 $f(x)=3x^4-16x^3+18x^2\ \ (-1\le x\le4)$ 의 국소최댓값, 국소최솟값, 절대최댓값, 절대최솟값을 각각 모두 구하시오.
- $f(1)=5$ : 국소 최댓값
- $f(-1)=37$ : 절대 최댓값이지만 끝점이므로 국소 최댓값은 아님
- $f(0)=0$ : 국소 최솟값
- $f(3)=-27$ : 국소이자 절대 최솟값
- $x=4$ 에서는 국소 극값도 절대 극값도 아님
■Critical Numbers and the Closed Interval Method (임계수와 닫힌구간법)
$f$ 가 $c$ 에서 국소 극값을 갖고 $f'(c)$ 가 존재하면 $f'(c)=0$.
- $f(x)=x^3$: $f'(0)=0$ 이지만 극값 없음 (수평접선을 가로지름).
- $f(x)=|x|$: $x=0$ 에서 극솟값이지만 $f'(0)$ 존재하지 않음.
$f$ 의 정의역에 속하는 수 $c$ 중 $f'(c)=0$ 이거나 $f'(c)$ 가 존재하지 않는 수.
Fermat 재서술: $f$ 가 $c$ 에서 국소 극값을 가지면 $c$ 는 임계수. (임계수 ⇏ 극값)
연속함수 $f$ 의 $[a,b]$ 에서의 절대최댓값/최솟값 구하기:
- $(a,b)$ 안에 있는 $f$ 의 임계수에서의 함숫값을 구한다.
- 끝점 $f(a),f(b)$ 를 구한다.
- 1, 2단계의 값 중 가장 큰 것 = 절대최댓값, 가장 작은 것 = 절대최솟값.
예제 7 · 다음 함수의 임계수(critical number)를 모두 구하시오. (a) $f(x)=x^3-3x^2+1$ (b) $f(x)=x^{3/5}(4-x)$
(a) $f'=3x^2-6x=3x(x-2)$, 모든 $x$ 에서 존재 → 임계수 $x=0,\,2$.
(b) $f'=x^{3/5}(-1)+(4-x)\tfrac35x^{-2/5}=\dfrac{-5x+3(4-x)}{5x^{2/5}}=\dfrac{12-8x}{5x^{2/5}}$.
$f'=0\Rightarrow x=\tfrac32$, $f'$ 존재하지 않음 $\Rightarrow x=0$ (정의역에 속함). 임계수: $\tfrac32,\ 0$.
예제 8 · 함수 $f(x)=x^3-3x^2+1,\ \ -\tfrac12\le x\le4$ 의 절대최댓값과 절대최솟값을 구하시오.
임계수 $0,2$ 모두 구간 안. $f(0)=1,\ f(2)=-3$. 끝점: $f(-\tfrac12)=\tfrac18,\ f(4)=17$.
절대최댓값 $f(4)=17$ (끝점), 절대최솟값 $f(2)=-3$ (임계수).
예제 9 · 함수 $f(x)=x-2\sin x,\ \ 0\le x\le2\pi$ 에 대하여 (a) 계산기(그래프)로 절대최댓값·최솟값을 추정하시오. (b) 미적분을 이용하여 정확한 절대최댓값과 절대최솟값을 구하시오.
$f'=1-2\cos x=0\Rightarrow \cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\tfrac\pi3,\ \tfrac{5\pi}3$.
$f(\tfrac\pi3)=\tfrac\pi3-\sqrt3\approx-0.685$, $\ f(\tfrac{5\pi}3)=\tfrac{5\pi}3+\sqrt3\approx6.968$, 끝점 $f(0)=0$, $f(2\pi)=2\pi\approx6.28$.
∴ 절대최솟값 $\tfrac\pi3-\sqrt3$, 절대최댓값 $\tfrac{5\pi}3+\sqrt3$.
예제 10 · 허블 우주망원경을 실은 우주왕복선의 발사 후 속도(m/s)가 $v(t)=0.000397t^3-0.02752t^2+7.196t-0.9397$ ($0\le t\le126$, 단위 초)로 모델링된다. 이 모델을 이용하여 발사부터 고체 로켓 부스터 분리 시점(t=126)까지 우주왕복선 가속도의 절대최댓값과 절대최솟값을 추정하시오.
극값을 구할 대상은 가속도 $a(t)=v'(t)$ 임에 주의. $v=0.000397t^3-0.02752t^2+7.196t-0.9397$ 이면 $a(t)=0.001191t^2-0.05504t+7.196$ 을 $[0,126]$ 에서 닫힌구간법으로 최적화 (임계수 $t\approx23.1$).
- 임계수를 찾을 때 $f'$ 가 존재하지 않는 점(뾰족점, 수직접선, 분모=0이면서 $f$ 정의역에 속함)도 빠뜨리지 말 것.
- 임계수가 구간 밖이면 버린다. 끝점 값 비교를 잊지 말 것.
- "Extreme Value Theorem 적용 가능?" → 연속 + 닫힌구간을 반드시 언급.
4.2 The Mean Value Theorem 교재 p.290–295
4장의 거의 모든 결과가 이 정리 하나에서 나온다. "존재 정리(existence theorem)": $c$ 가 있다는 것만 보장하고 어디인지는 알려주지 않는다.
■Rolle's Theorem (롤의 정리)
$f$ 가 다음 세 조건을 만족하면
- $[a,b]$ 에서 연속
- $(a,b)$ 에서 미분가능
- $f(a)=f(b)$
$f'(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$ 가 존재한다.
증명 아이디어 (3가지 경우)
- Case I: $f$ 가 상수 → $f'\equiv0$.
- Case II: 어떤 $x$ 에서 $f(x)>f(a)$ → EVT로 최댓값 존재, $f(a)=f(b)$ 이므로 최댓값은 내부점 $c$에서 → Fermat 정리로 $f'(c)=0$.
- Case III: $f(x)<f(a)$ 인 $x$ 존재 → 같은 논리로 최솟값 사용.
물리 해석: 같은 위치에서 출발해 다시 돌아오면(예: 위로 던진 공) 그 사이 속도가 0인 순간이 있다.
예제 2 · 방정식 $x^3+x-1=0$ 이 정확히 하나의 실근을 가짐을 증명하시오.
존재 (IVT): $f(x)=x^3+x-1$ 은 연속, $f(0)=-1<0$, $f(1)=1>0$ ⇒ $0<c<1$ 에서 $f(c)=0$.
유일성 (Rolle + 귀류법): 실근이 두 개 $a<b$ 라 하면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 Rolle에 의해 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 존재. 그러나 $f'(x)=3x^2+1\ge1>0$ 이므로 모순. ∎
※ 교재 예제 2는 $x^3+x-1=0$ 형태 (근이 정확히 1개). "근의 개수 상한" 문제의 표준 풀이: IVT(존재) + Rolle(유일).
■The Mean Value Theorem (평균값 정리)
$f$ 가 (1) $[a,b]$ 에서 연속, (2) $(a,b)$ 에서 미분가능이면, 다음을 만족하는 $c\in(a,b)$ 가 존재한다.
- 기하: 시컨트 $AB$ 의 기울기와 같은 기울기의 접선이 (평행한 접선이) 적어도 한 점에서 존재.
- 물리: 어떤 순간의 순간 변화율 = 구간 전체의 평균 변화율. (180 km를 2시간 주행 → 속도계가 정확히 90 km/h를 가리킨 순간이 있다.)
- Rolle의 정리는 MVT에서 $f(a)=f(b)$ 인 특수한 경우. MVT 증명: $h(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 에 Rolle 적용.
예제 3 · 함수 $f(x)=x^3-x$ 가 구간 $[0,2]$ 에서 평균값 정리의 가정을 만족함을 보이고, 정리의 결론을 만족하는 수 $c$ 를 구하시오.
$\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=\dfrac{6-0}2=3$. $f'(c)=3c^2-1=3\Rightarrow c^2=\tfrac43$, $c=\pm\tfrac2{\sqrt3}$. 구간 $(0,2)$ 에 속하는 것은 $c=\dfrac2{\sqrt3}$.
예제 5 · $f(0)=-3$ 이고 모든 $x$ 에 대하여 $f'(x)\le5$ 일 때, $f(2)$ 가 가질 수 있는 가장 큰 값은 얼마인가?
MVT: $f(2)-f(0)=f'(c)(2-0)$ ⇒ $f(2)=-3+2f'(c)\le-3+2(5)=7$. 최댓값 7.
이런 문제는 "도함수의 상한/하한 → 함숫값의 상한/하한" 으로 푼다.
- Theorem 5: 구간 $(a,b)$ 에서 $f'(x)=0$ 이면 $f$ 는 그 구간에서 상수.
- Corollary 7: 구간에서 $f'(x)=g'(x)$ 이면 $f(x)=g(x)+C$ ( $C$ 는 상수 ) — 그래프가 위아래 평행이동 관계. (→ 부정적분의 “$+C$” 의 근거)
$f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ : 정의역 $\{x\neq0\}$ 에서 $f'=0$ 이지만 상수가 아님($\pm1$). 정의역이 구간이 아니기 때문이므로 Theorem 5와 모순 아님.
예제 6 · 미적분을 이용하여 항등식 $\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\dfrac\pi2$ 를 증명하시오.
$f(x)=\tan^{-1}x+\cot^{-1}x$ ⇒ $f'(x)=\dfrac1{1+x^2}-\dfrac1{1+x^2}=0$ ⇒ $f\equiv C$.
$x=1$ 대입: $C=\tfrac\pi4+\tfrac\pi4=\tfrac\pi2$. ∎
템플릿: “도함수가 0 → 상수 → 한 점에서 값을 확인해 상수 결정”.
- Rolle/MVT 적용 시 조건 3개(연속·미분가능·$f(a)=f(b)$)를 먼저 검증. 예: $f(x)=|x|$ on $[-1,1]$ 은 $x=0$ 에서 미분불가 → 결론 실패.
- "MVT를 만족하는 $c$" 는 열린구간 $(a,b)$ 안의 값만 답으로.
- ‘증명’ 문제: "존재는 IVT, 유일성은 Rolle(귀류)" 세트.
4.3 What Derivatives Tell Us about the Shape of a Graph 교재 p.296–308
$f'$ → 증가/감소·극값, $f''$ → 오목/볼록·변곡점. 이 절이 그래프 그리기의 엔진.
■What Does f′ Say about f? (증가·감소 판정)
- (a) 구간에서 $f'(x)>0$ ⇒ $f$ 는 그 구간에서 증가(increasing)
- (b) 구간에서 $f'(x)<0$ ⇒ $f$ 는 그 구간에서 감소(decreasing)
증명: MVT. $x_1<x_2$ 일 때 $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$ 의 부호 = $f'(c)$ 의 부호.
풀이 절차 (부호표)
- $f'(x)$ 를 구하고 인수분해.
- $f'=0$ 또는 $f'$ 미존재인 점(임계수)으로 정의역을 구간으로 분할.
- 각 구간에서 $f'$ 의 각 인수 부호를 곱해 $f'$ 부호 결정.
예제 1 · 함수 $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 각각 구하시오.
$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x-2)(x+1)$. 임계수 $-1,0,2$.
| 구간 | $12x$ | $x-2$ | $x+1$ | $f'$ | $f$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x<-1$ | − | − | − | − | 감소 |
| $-1<x<0$ | − | − | + | + | 증가 |
| $0<x<2$ | + | − | + | − | 감소 |
| $x>2$ | + | + | + | + | 증가 |
■The First Derivative Test (1계 도함수 판정법)
$c$ 가 연속함수 $f$ 의 임계수일 때
- (a) $f'$ 가 $c$ 에서 + → − 로 바뀜 ⇒ $f(c)$ 는 국소최댓값
- (b) $f'$ 가 $c$ 에서 − → + 로 바뀜 ⇒ $f(c)$ 는 국소최솟값
- (c) $f'$ 의 부호가 바뀌지 않음 (양쪽 모두 + 또는 모두 −) ⇒ 극값 아님
기억법: 산봉우리 = 오르다(+)가 내리다(−), 골짜기 = 내리다(−)가 오르다(+).
예제 2 · 예제 1의 함수 $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$ 의 국소최댓값과 국소최솟값을 구하시오.
$f'$ 가 $x=-1$ 에서 − → +: $f(-1)=0$ 국소최솟값. $x=0$ 에서 + → −: $f(0)=5$ 국소최댓값. $x=2$ 에서 − → +: $f(2)=-27$ 국소최솟값.
예제 3 · 함수 $g(x)=x+2\sin x,\ \ 0\le x\le2\pi$ 의 국소최댓값과 국소최솟값을 구하시오.
$g'=1+2\cos x=0\Rightarrow \cos x=-\tfrac12\Rightarrow x=\tfrac{2\pi}3,\tfrac{4\pi}3$.
$g'>0$ on $(0,\tfrac{2\pi}3)$, $g'<0$ on $(\tfrac{2\pi}3,\tfrac{4\pi}3)$, $g'>0$ on $(\tfrac{4\pi}3,2\pi)$.
국소최댓값 $g(\tfrac{2\pi}3)=\tfrac{2\pi}3+\sqrt3\approx3.83$, 국소최솟값 $g(\tfrac{4\pi}3)=\tfrac{4\pi}3-\sqrt3\approx2.46$.
■What Does f″ Say about f? (오목·볼록과 변곡점)
- 그래프가 구간 $I$ 에서 모든 접선의 위에 있으면 concave upward (CU, 아래로 볼록)
- 그래프가 구간 $I$ 에서 모든 접선의 아래에 있으면 concave downward (CD, 위로 볼록)
- (a) $I$ 에서 $f''(x)>0$ ⇒ 그래프는 $I$ 에서 CU (기울기 $f'$ 가 증가)
- (b) $I$ 에서 $f''(x)<0$ ⇒ 그래프는 $I$ 에서 CD (기울기 $f'$ 가 감소)
$f$ 가 연속인 곡선 위의 점 $P$ 에서 오목성이 바뀌는 점 (CU ↔ CD).
- 연속이고 $f''$ 의 부호가 바뀌는 점이 변곡점. ($f''=0$ 만으로는 부족!)
- 변곡점에서 접선이 존재하면 곡선이 접선을 가로지른다.
- 의미: 변곡점 = $f'$ 가 극값을 갖는 곳 = 변화율이 최대(또는 최소)인 곳. (예: 인구 성장곡선에서 성장속도가 최대인 시점)
| $f'$ | $f''$ | 모양 |
|---|---|---|
| + | + | 증가, CU (↗ 가파르게) |
| + | − | 증가, CD (↗ 완만해짐) |
| − | + | 감소, CU (↘ 완만해짐) |
| − | − | 감소, CD (↘ 가파르게) |
예제 5 · 다음 조건을 모두 만족하는 함수 $f$ 의 그래프 개형을 그리시오.
(i) $x<1$ 에서 $f'(x)>0$, $x>1$ 에서 $f'(x)<0$ (ii) $x<-2$ 또는 $x>2$ 에서 $f''(x)>0$, $-2<x<2$ 에서 $f''(x)<0$ (iii) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2$, $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$
해석: 수평점근선 $y=-2$(왼쪽), $y=0$(오른쪽). $x=1$ 에서 극대(최대). 변곡점 $x=-2$ 와 $x=2$. 왼쪽 끝은 $y=-2$ 에서 위로 볼록하게 올라가며 (CU→CD, $x=-2$) 정점 $x=1$ 을 지나 내려오다 $x=2$ 에서 다시 CU 로 바뀌고 $y=0$ 에 접근.
■The Second Derivative Test (2계 도함수 판정법)
$f''$ 가 $c$ 근처에서 연속이라 하자.
- (a) $f'(c)=0$ 이고 $f''(c)>0$ ⇒ $f(c)$ 는 국소최솟값
- (b) $f'(c)=0$ 이고 $f''(c)<0$ ⇒ $f(c)$ 는 국소최댓값
$f''(c)=0$ 이거나 $f''(c)$ 가 존재하지 않으면 판정 불가(극대/극소/둘 다 아님 모두 가능) → First Derivative Test 로 돌아가라. 그리고 애초에 $f'(c)=0$ 인 임계수에만 적용 가능(뾰족점·수직접선인 임계수에는 X).
예제 6 · 곡선 $y=x^4-4x^3$ 의 오목성(concavity), 변곡점, 국소 극값에 대하여 논하시오.
$f'=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$, $\ f''=12x^2-24x=12x(x-2)$. 임계수 $x=0,3$.
- $f''(3)=36>0$ ⇒ $f(3)=-27$ 국소최솟값 (2계 판정).
- $f''(0)=0$ ⇒ 판정 불가. $f'<0$ 이 $x<0$ 과 $0<x<3$ 모두에서 성립 → 부호 변화 없음 → $x=0$ 에서 극값 없음 (1계 판정).
- $f''$ 부호: $x<0$ : + (CU), $0<x<2$ : − (CD), $x>2$ : + (CU). ⇒ 변곡점 $(0,0)$, $(2,-16)$.
■Curve Sketching (곡선 그리기)
$f'$, $f''$, 점근선 정보를 모아서 그래프를 그린다. (완전한 체크리스트는 4.5)
예제 7 · 함수 $f(x)=x^{2/3}(6-x)^{1/3}$ 의 증가·감소 구간, 국소 극값, 오목성, 변곡점을 조사하고 그래프를 그리시오.
정의역 $\mathbb R$. $f'=\dfrac{4-x}{x^{1/3}(6-x)^{2/3}}$, $\ f''=\dfrac{-8}{x^{4/3}(6-x)^{5/3}}$. 임계수: $0,\ 4,\ 6$ ($f'$ 미존재: 0, 6).
| 구간 | $f'$ | $f$ |
|---|---|---|
| $x<0$ | − | 감소 |
| $0<x<4$ | + | 증가 |
| $4<x<6$ | − | 감소 |
| $x>6$ | − | 감소 |
- $x=0$ : − → + ⇒ $f(0)=0$ 국소최솟값. $x=4$ : + → − ⇒ $f(4)=2^{5/3}\approx3.17$ 국소최댓값. $x=6$ : 부호 변화 없음 → 극값 아님.
- $f''<0$ on $(-\infty,0)$, $(0,6)$ → CD, $f''>0$ on $(6,\infty)$ → CU. 변곡점은 $(6,0)$ 하나.
- $|f'|\to\infty$ ($x\to0,\ x\to6$) ⇒ $(0,0)$, $(6,0)$ 에서 수직접선.
예제 8 · 함수 $f(x)=e^{1/x}$ 의 점근선과 $f',\,f''$ 을 이용하여 그래프를 그리시오.
정의역 $x\ne0$. $\;x\to0^+$: $e^{1/x}\to\infty$ ⇒ $x=0$ 수직점근선. $\;x\to0^-$: $e^{1/x}\to0$. $\;x\to\pm\infty$: $e^{1/x}\to1$ ⇒ $y=1$ 수평점근선.
$f'=-\dfrac{e^{1/x}}{x^2}<0$ ⇒ 두 구간에서 모두 감소, 임계수 없음 ⇒ 극값 없음.
$f''=\dfrac{e^{1/x}(2x+1)}{x^4}$ ⇒ $x<-\tfrac12$ 에서 CD, $x>-\tfrac12\,(x\ne0)$ 에서 CU. 변곡점 $\left(-\tfrac12,\ e^{-2}\right)$.
- $f'=0$ 에서 $f''=0$ 이면 2계 판정 포기 → 1계 판정.
- $f''=0$ 인 점이라고 무조건 변곡점이 아니다 ($y=x^4$ 의 $x=0$). 부호 변화 확인!
- 변곡점은 $f$ 가 정의된(연속인) 점이어야 한다. ($e^{1/x}$ 의 $x=0$ 은 정의역 밖.)
- 증가/감소 구간 답안에서 정의역에서 빠진 점(점근선)을 구간 경계로 표기.
4.4 Indeterminate Forms and l'Hospital's Rule 교재 p.309–319
극한을 그냥 대입하면 $\tfrac00$ 처럼 의미 없는 꼴이 될 때 → 로피탈.
■Indeterminate Forms (Types 0/0, ∞/∞) (부정형)
- $\dfrac00$ 형: $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 에서 $f\to0$, $g\to0$
- $\dfrac\infty\infty$ 형: $f\to\pm\infty$, $g\to\pm\infty$
극한이 존재할 수도 있고 안 할 수도 있으며, 값은 누가 더 빨리 가느냐의 “힘겨루기”로 결정된다.
예전 방법(약분, $\lim\frac{\sin x}{x}=1$, 최고차항으로 나누기 등)으로 안 풀리는 $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x-1}$ 같은 경우 로피탈을 쓴다.
■L'Hospital's Rule (로피탈의 정리)
$f,g$ 가 $a$ 를 포함하는 열린구간 $I$ 에서 미분가능하고 $g'(x)\neq0$ ($a$ 제외 가능)이며 $$\lim_{x\to a}f(x)=0=\lim_{x\to a}g(x)\quad\text{또는}\quad\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty,\ \lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$$ 이면
- $x\to a^+,\ a^-,\ \infty,\ -\infty$ 모두 사용 가능.
- 분자·분모를 각각 따로 미분 — 몫의 미분법이 아니다!
- 한 번으로 안 끝나면 (여전히 부정형) 반복 적용. 단, 중간에 식을 간단히 하면 반복이 필요 없어지기도 한다.
- 먼저 $0/0$ 혹은 $\infty/\infty$ 조건을 확인. 대입으로 풀리면 그냥 대입.
- 성장 속도 서열: $\ln x\ \ll\ x^p\ \ll\ e^x$ ($x\to\infty$). $e^x$ 는 모든 거듭제곱보다 빠르고, $\ln x$ 는 모든 거듭제곱보다 느리다.
예제 1 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}$
예제 2 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}$
예제 3 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}$
예제 4 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}$
예제 5 · 다음 극한을 구하시오. (로피탈의 정리를 사용해도 되는지 먼저 판단할 것) $\displaystyle\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin x}{1-\cos x}$
분모 $1-\cos x\to1-(-1)=2\ne0$ 이므로 부정형이 아님. 그냥 대입: $\dfrac{\sin\pi}{1-\cos\pi}=\dfrac02=0$.
(무턱대고 로피탈: $\dfrac{\cos x}{\sin x}\to-\infty$ — 틀림!)
■Indeterminate Products (Type 0·∞) (부정 곱)
$f\to0$, $g\to\pm\infty$ 이면 $\lim fg$ 는 부정형 $0\cdot\infty$. 곱을 분수로 바꿔 $\tfrac00$ 또는 $\tfrac\infty\infty$ 로 만든다:
두 방법 중 더 간단한 결과가 나오는 쪽을 택한다. (보통 로그·삼각함수를 분자에 두고, 다항식/지수를 분모로 내린다.)
예제 6 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x$
(반대로 $\frac{x}{1/\ln x}$ 로 쓰면 오히려 복잡해진다.)
■Indeterminate Differences (Type ∞−∞) (부정 차)
$f\to\infty$, $g\to\infty$ 일 때 $\lim(f-g)$. 통분, 유리화, 공통인수 묶기 등으로 몫($\tfrac00$ 또는 $\tfrac\infty\infty$)으로 바꾼다.
예제 7 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to1^+}\left(\frac1{\ln x}-\frac1{x-1}\right)$
$=\displaystyle\lim\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}$ ($\tfrac00$) $=\displaystyle\lim\frac{1-\frac1x}{(x-1)\frac1x+\ln x}=\lim\frac{x-1}{x-1+x\ln x}$ ($\tfrac00$)
$=\displaystyle\lim\frac1{1+x\cdot\frac1x+\ln x}=\lim\frac1{2+\ln x}=\frac12$.
예제 8 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(e^x-x)$
■Indeterminate Powers (Types 0⁰, ∞⁰, 1^∞) (부정 거듭제곱)
$\displaystyle\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}$ 에서
| 형 | $f\to$ | $g\to$ |
|---|---|---|
| $0^0$ | 0 | 0 |
| $\infty^0$ | $\infty$ | 0 |
| $1^\infty$ | 1 | $\pm\infty$ |
방법 1 $y=[f]^g$ 로 두고 $\ln y=g\ln f$ 의 극한 $L$ 을 구한 뒤 $\ \lim y=e^{L}$.
방법 2 $[f]^g=e^{\,g\ln f}$ 로 쓰고 지수 부분의 극한만 계산.
두 경우 모두 $g\ln f$ 는 $0\cdot\infty$ 꼴 → 분수로 변환 → 로피탈.
예제 9 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}(1+\sin4x)^{\cot x}$
$y=(1+\sin4x)^{\cot x}$, $\ln y=\dfrac{\ln(1+\sin4x)}{\tan x}$ ($\tfrac00$).
로피탈: $\displaystyle\lim\frac{\frac{4\cos4x}{1+\sin4x}}{\sec^2x}=4$. 따라서 $\lim y=e^4$.
예제 10 · 다음 극한을 구하시오. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x$
| 형태 | 처리 방법 |
|---|---|
| $\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty$ | 바로 로피탈 ($f'/g'$) |
| $0\cdot\infty$ | $fg=\dfrac f{1/g}$ 또는 $\dfrac g{1/f}$ → 몫으로 |
| $\infty-\infty$ | 통분 · 유리화 · 인수묶기 → 몫으로 |
| $0^0,\ \infty^0,\ 1^\infty$ | $\ln$ 취하기(또는 $e^{g\ln f}$) → $0\cdot\infty$ → 몫으로 → 마지막에 $e^{L}$ |
부정형이 아닌 것: $0^\infty$ (=0), $\infty^\infty$ (=∞), $\infty+\infty$ (=∞), $0\cdot0$ 등. $\infty-\infty$ 만 부정형이고 $\infty+\infty$ 는 아님.
- 조건 확인 없이 로피탈 금지 (예제 5). 분자·분모가 모두 0 (또는 ±∞)으로 가야 한다.
- 분수 전체에 몫의 미분법을 쓰는 실수 — 분자, 분모를 각각 미분.
- $\ln y$ 의 극한을 구한 뒤 $e^{L}$ 로 되돌리는 것을 잊지 말 것 ($\ln y\to4$ ⇒ $y\to e^4$).
- 로피탈 반복 시 매 단계 다시 부정형인지 확인. 부정형이 풀렸는데 계속 미분하면 오답.
4.5 Summary of Curve Sketching 교재 p.320–328
지금까지 배운 모든 도구(정의역, 대칭, 극한/점근선, $f'$, $f''$)를 총동원하는 절.
■Guidelines for Sketching a Curve (곡선 그리기 체크리스트 A–H)
| 단계 | 항목 | 해야 할 일 |
|---|---|---|
| A | Domain | $f$ 가 정의되는 $x$ 의 집합 $D$ |
| B | Intercepts | $y$절편 $f(0)$, $x$절편 ($f(x)=0$; 어려우면 생략) |
| C | Symmetry | (i) 짝함수 $f(-x)=f(x)$ → $y$축 대칭 (ii) 홀함수 $f(-x)=-f(x)$ → 원점 대칭 (iii) 주기함수 $f(x+p)=f(x)$ → 한 주기만 그리고 평행이동 |
| D | Asymptotes | (i) 수평: $\lim_{x\to\pm\infty}f=L$ → $y=L$ (ii) 수직: $\lim_{x\to a^\pm}f=\pm\infty$ → $x=a$ (좌·우극한 각각 확인) (iii) 기울어진(slant): 아래 참조 |
| E | Increase / Decrease | $f'$ 의 부호 (I/D Test) |
| F | Local Max / Min | 임계수 + 1계 판정법 (필요 시 2계 판정법) |
| G | Concavity / Inflection | $f''$ 의 부호 (Concavity Test), 변곡점 |
| H | Sketch | 점근선을 점선으로 → 절편·극점·변곡점 표시 → E·G 에 맞게 연결 |
모든 항목이 모든 함수에 필요한 것은 아니다(점근선이나 대칭이 없을 수 있음).
서술형에서는 A~G 를 소제목 순서대로 적고 마지막에 그래프를 그리면 부분점수를 가장 많이 받는다. 미분은 반드시 식으로 보여주고, 부호표를 함께 제시.
예제 1 · 곡선 지침(A–H)을 이용하여 곡선 $y=\dfrac{2x^2}{x^2-1}$ 의 그래프를 그리시오.
A $x\ne\pm1$. B 절편 (0,0). C 짝함수 → $y$축 대칭.
D $\lim_{x\to\pm\infty}=2$ ⇒ $y=2$. 수직: $x=\pm1$ ($\lim_{x\to1^+}=+\infty,\ \lim_{x\to1^-}=-\infty,\ \lim_{x\to-1^+}=-\infty,\ \lim_{x\to-1^-}=+\infty$).
E $f'=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}$ ⇒ $x<0$ 증가, $x>0$ 감소 (정의역 내). F $f(0)=0$ 국소최댓값.
G $f''=\dfrac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}$ ⇒ $|x|>1$ 이면 CU, $|x|<1$ 이면 CD. 변곡점 없음(±1 은 정의역 밖).
예제 2 · 곡선 지침(A–H)을 이용하여 $f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{x+1}}$ 의 그래프를 그리시오.
A $(-1,\infty)$. B (0,0). C 없음. D 수평점근선 없음($f\to\infty$); $x\to-1^+$ 에서 $f\to\infty$ ⇒ 수직점근선 $x=-1$.
E $f'=\dfrac{x(3x+4)}{2(x+1)^{3/2}}$ ⇒ $(-1,0)$ 감소, $(0,\infty)$ 증가. ($-\tfrac43$ 은 정의역 밖)
F $f(0)=0$ 국소(이자 절대)최솟값. G $f''=\dfrac{3x^2+8x+8}{4(x+1)^{5/2}}>0$ (판별식 $64-96<0$) ⇒ 전 구간 CU, 변곡점 없음.
예제 3 · 곡선 지침(A–H)을 이용하여 $f(x)=xe^x$ 의 그래프를 그리시오.
A $\mathbb R$. B (0,0). C 없음.
D $x\to\infty$: $\infty$. $x\to-\infty$: $xe^x=\dfrac{x}{e^{-x}}\ \overset{L'H}\to\ \dfrac1{-e^{-x}}=-e^{x}\to0$ ⇒ $y=0$ 수평점근선(왼쪽).
E $f'=(x+1)e^x$ ⇒ $(-1,\infty)$ 증가, $(-\infty,-1)$ 감소. F $f(-1)=-e^{-1}\approx-0.37$ 국소(절대)최솟값.
G $f''=(x+2)e^x$ ⇒ $x>-2$ CU, $x<-2$ CD. 변곡점 $(-2,-2e^{-2})\approx(-2,-0.27)$.
예제 4 · 곡선 지침(A–H)을 이용하여 $f(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}$ 의 그래프를 그리시오.
A $\mathbb R$. B $y$절편 $\tfrac12$, $x$절편 $x=\tfrac\pi2+n\pi$. C 주기 $2\pi$ → $[0,2\pi]$ 만 분석. D 없음.
E $f'=-\dfrac{2\sin x+1}{(2+\sin x)^2}$ ⇒ $f'>0\iff\sin x<-\tfrac12\iff\tfrac{7\pi}6<x<\tfrac{11\pi}6$ 에서 증가, $(0,\tfrac{7\pi}6)$ 과 $(\tfrac{11\pi}6,2\pi)$ 에서 감소.
F 국소최솟값 $f(\tfrac{7\pi}6)=-\tfrac1{\sqrt3}$, 국소최댓값 $f(\tfrac{11\pi}6)=\tfrac1{\sqrt3}$.
G $f''=-\dfrac{2\cos x(1-\sin x)}{(2+\sin x)^3}$ ⇒ $f''>0\iff\cos x<0\iff\tfrac\pi2<x<\tfrac{3\pi}2$ 에서 CU. 변곡점 $(\tfrac\pi2,0),(\tfrac{3\pi}2,0)$.
예제 5 · 곡선 지침(A–H)을 이용하여 $y=\ln(4-x^2)$ 의 그래프를 그리시오.
A $4-x^2>0\iff|x|<2$, 즉 $(-2,2)$. B $y$절편 $\ln4$, $x$절편 $\pm\sqrt3$ ($4-x^2=1$). C 짝함수.
D $\lim_{x\to\pm2^\mp}=-\infty$ ⇒ 수직점근선 $x=\pm2$.
E $f'=\dfrac{-2x}{4-x^2}$ ⇒ $(-2,0)$ 증가, $(0,2)$ 감소. F $f(0)=\ln4$ 국소최댓값.
G $f''=\dfrac{-8-2x^2}{(4-x^2)^2}<0$ ⇒ 전 구간 CD, 변곡점 없음.
■Slant Asymptotes (기울어진 점근선)
$m\neq0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-(mx+b)\big]=0$ 이면 직선 $y=mx+b$ 는 slant (oblique) asymptote. ($x\to-\infty$ 도 마찬가지)
- 유리함수에서 (분자 차수) = (분모 차수) + 1 일 때 존재. 다항식 장제법의 몫 $=mx+b$.
- 일반 함수: $m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x$, $\ b=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-mx\big]$.
- 차수 비교 요약: 분자 차수 < 분모 → $y=0$ / 같음 → $y=$ 최고차 계수의 비 / 분자가 1 큼 → 사선 / 2 이상 큼 → 점근선 없음(포물선 등에 접근).
예제 6 · 곡선 지침(A–H)을 이용하여 $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ 의 그래프를 그리시오. (기울어진 점근선에 유의)
A $\mathbb R$. B (0,0). C 홀함수 → 원점 대칭. D 수직 없음, 수평 없음. 장제법: $f(x)=x-\dfrac{x}{x^2+1}$ ⇒ $f(x)-x=-\dfrac{x}{x^2+1}\to0$ ⇒ 사선점근선 $y=x$.
E $f'=\dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\ge0$ ⇒ $(-\infty,\infty)$ 에서 증가. F $f'(0)=0$ 이지만 부호 변화 없음 ⇒ 극값 없음.
G $f''=\dfrac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}$ ⇒ CU: $(-\infty,-\sqrt3)$, $(0,\sqrt3)$ / CD: $(-\sqrt3,0)$, $(\sqrt3,\infty)$. 변곡점 $(0,0)$, $\left(\pm\sqrt3,\pm\tfrac{3\sqrt3}4\right)$ (3개).
- 유리함수는 공통인수 약분 후 수직점근선 판별 (약분되는 점은 구멍(hole)).
- 수직점근선은 좌·우극한 부호를 각각 밝혀야 개형이 정해진다.
- $f'$ 나 $f''$ 를 구할 때 정의역 밖의 근(예제 2의 $-\tfrac43$)은 버린다.
- 사선점근선은 $x\to+\infty$ 와 $x\to-\infty$ 에서 같은 직선이 될 수도, 다를 수도 있다 (유리함수는 같음).
🧪 Chapter 4 연습문제 (4.1 – 4.5) 풀고 나서 정답 확인 → 채점
교재 연습문제(Exercises)를 바탕으로 골랐습니다. 먼저 종이에 풀고 → “정답·풀이 보기” → 채점(✔/✘). ✘ 표시한 문제는 “복습 문제만 보기”로 다시 모아 볼 수 있어요.
▸4.1 최댓값과 최솟값
(b) $g'=\frac34t^{-1/4}-\frac12t^{-3/4}=\dfrac{3\sqrt t-2}{4t^{3/4}}$. $g'=0\Rightarrow t=\frac49$; $t=0$ 에서 $g'$ 미존재(정의역에 포함) ⇒ $\boxed{t=0,\ \tfrac49}$
최댓값 $8$ ($x=-1$), 최솟값 $-19$ ($x=2$)
최댓값 $5.2$, 최솟값 $2$
최댓값 $\sqrt e$, 최솟값 $-2/e$
$f(\pm\frac1{3\sqrt3})=\mp\frac{2}{3\sqrt3}$, $f(0)=0$, $f(-1)=0$, $f(4)=4-\sqrt[3]4\approx2.413$.
최댓값 $4-\sqrt[3]4$, 최솟값 $-\dfrac{2}{3\sqrt3}\approx-0.385$
▸4.2 평균값 정리
$f'=3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)=0\Rightarrow x=-\frac23,\ 2$. 열린구간 $(-2,2)$ 안: $\boxed{c=-\tfrac23}$
(b) 평균변화율 $\frac{1/3-1}{2}=-\frac13$, $-\frac1{c^2}=-\frac13\Rightarrow c=\boxed{\sqrt3}$
이유: $f$ 가 $x=3\in[1,4]$ 에서 불연속(정의되지 않음)이므로 MVT의 가정이 깨진다.
유일: 근이 둘($a<b$)이면 Rolle에 의해 $f'(c)=0$ 이어야 하나 $f'(x)=2-\sin x\ge1>0$ ⇒ 모순. ∎
(b) $f(8)-f(2)=f'(c)(8-2)=6f'(c)$, $3\le f'(c)\le5$ ⇒ $18\le f(8)-f(2)\le30$. ∎
▸4.3 도함수와 그래프의 모양
증가: $(-\infty,1),\ (4,\infty)$ / 감소: $(1,4)$.
국소최댓값 $f(1)=\boxed6$, 국소최솟값 $f(4)=\boxed{-21}$
증가: $(-\infty,0),\ (\frac65,\infty)$ / 감소: $(0,\frac65)$.
국소최댓값 $f(0)=0$, 국소최솟값 $f(\tfrac65)=-\frac95\left(\frac65\right)^{2/3}\approx-2.03$
$x=0$: − → + ⇒ 국소최솟값 $f(0)=0$. $x=4$: + → − ⇒ 국소최댓값 $f(4)=256e^{-4}\approx4.69$.
CU: $(-\sqrt5,\sqrt5)$, CD: $(-\infty,-\sqrt5),\ (\sqrt5,\infty)$. 변곡점 $\boxed{(\pm\sqrt5,\ \ln10)}$.
(a) 감소: $(-\infty,-1),(0,1)$ / 증가: $(-1,0),(1,\infty)$.
(b) 국소최솟값 $f(\pm1)=2$, 국소최댓값 $f(0)=3$.
(c) CU: $|x|>\frac1{\sqrt3}$, CD: $|x|<\frac1{\sqrt3}$. 변곡점 $\left(\pm\frac1{\sqrt3},\ \frac{22}9\right)$.
2계: $f''(0)=6>0$ ⇒ 국소최솟값 $f(0)=1$; $f''(1)=-6<0$ ⇒ 국소최댓값 $f(1)=2$.
1계: $f'$ 이 $0$ 에서 − → +, $1$ 에서 + → − 로 동일한 결론.
$f''=4(x-1)e^{-2x}$ ⇒ CD: $(-\infty,1)$, CU: $(1,\infty)$, 변곡점 $(1,e^{-2})$. $x\to\infty$ 에서 $f\to0$ (수평점근선 $y=0$).
▸4.4 부정형과 로피탈
(2) $\dfrac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$ ($\frac00$) → $\dfrac{e^x-1}{e^x-1+xe^x}$ ($\frac00$) → $\dfrac{e^x}{2e^x+xe^x}\to\boxed{\tfrac12}$.
(2) $\ln y=\dfrac{\ln(2-x)}{\cot(\pi x/2)}$ ($\frac00$) → $\dfrac{-1/(2-x)}{-\frac\pi2\csc^2(\pi x/2)}\to\dfrac{-1}{-\pi/2}=\dfrac2\pi$ ⇒ $\boxed{e^{2/\pi}}$.
(2) $\ln y=\frac{\ln x}x\to0$ ⇒ $\boxed1$.
(b) 분모 $\to2$ → 부정형 아님, $\frac02=\boxed0$.
(c) $\frac\infty\infty$ → 로피탈 가능: $\frac1{e^x}\to\boxed0$.
정답: (a), (b) 는 로피탈 부적용.
▸4.5 곡선 그리기 (A–G 분석)
E: $y'=3x(x+2)$ ⇒ 증가 $(-\infty,-2),(0,\infty)$, 감소 $(-2,0)$.
F: 국소최댓값 $f(-2)=4$, 국소최솟값 $f(0)=0$.
G: $y''=6(x+1)$ ⇒ CD $(-\infty,-1)$, CU $(-1,\infty)$, 변곡점 $(-1,2)$.
E: $y'=-\dfrac{x^2+4}{(x^2-4)^2}<0$ ⇒ 정의역의 세 구간 모두에서 감소. F: 극값 없음.
G: $y''=\dfrac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$ ⇒ CU: $(-2,0),(2,\infty)$ / CD: $(-\infty,-2),(0,2)$. 변곡점 $(0,0)$.
E: $y'=1-\frac1{x^2}$ ⇒ 증가 $|x|>1$, 감소 $(-1,0),(0,1)$. F: 국소최댓값 $f(-1)=-2$, 국소최솟값 $f(1)=2$.
G: $y''=\frac2{x^3}$ ⇒ $x>0$ CU, $x<0$ CD, 변곡점 없음.
E: $y'=-xe^x$ ⇒ 증가 $(-\infty,0)$, 감소 $(0,\infty)$. F: 국소(절대)최댓값 $f(0)=1$.
G: $y''=-(x+1)e^x$ ⇒ CU $(-\infty,-1)$, CD $(-1,\infty)$, 변곡점 $(-1,\ 2/e)$.
E: $y'=1-x^{-2/3}$. 임계수 $0$(미존재), $\pm1$. 증가 $(-\infty,-1),(1,\infty)$, 감소 $(-1,1)$.
F: 국소최댓값 $f(-1)=2$, 국소최솟값 $f(1)=-2$ ($x=0$ 은 극값 아님).
G: $y''=\frac23x^{-5/3}$ ⇒ CD $(-\infty,0)$, CU $(0,\infty)$, 변곡점 $(0,0)$ (수직접선).
$y''=-\cos x$ ⇒ $\cos x>0$ 구간 CD, $\cos x<0$ 구간 CU. 변곡점 $x=\frac\pi2+n\pi$. (점근선 없음, 증가하며 $y=x$ 주위를 ±1 진동)
▸⭕❌ OX 문제 · 교재 Chapter 4 Review (True-False Quiz)
교재 원문 지시: 참이면 이유를, 거짓이면 이유 또는 반례를 설명하시오. O/X 버튼을 누르면 바로 채점되고 풀이가 나옵니다. (3.10–4.5 범위에 해당하는 문항만 수록: Chapter 4 Review T/F 21문항 중 4.9 부정적분 문항 1개 제외 → 20문항)
페르마 정리의 역은 거짓. 반례: $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ 이지만 극값이 아니다.
$f'(c)$ 가 존재하지 않을 수도 있다. 반례: $f(x)=|x|$, $c=0$.
극값 정리는 닫힌구간 $[a,b]$ 가 필요하다. 반례: $f(x)=x$ on $(0,1)$ — 최댓값·최솟값이 없다.
$f$ 가 미분가능 ⇒ $[-1,1]$ 에서 연속, $(-1,1)$ 에서 미분가능, $f(-1)=f(1)$ ⇒ 롤의 정리.
증가/감소 판정법(I/D Test).
$f''$ 의 부호가 바뀌어야 변곡점. 반례: $f(x)=(x-2)^4$, $f''(2)=0$ 이지만 항상 위로 오목(CU).
평균값 정리의 귀결: $f=g+C$ (상수 차이). 반례: $f(x)=x+1$, $g(x)=x$.
MVT: $f(3)-f(1)=f'(c)(3-1)\Rightarrow 2=2f'(c)\Rightarrow f'(c)=1$ 인 $c$ 가 존재해야 하는데 $f'>1$ 과 모순.
예: $f(x)=e^{-x}$ ($f>0$, $f'=-e^{-x}<0$, $f''=e^{-x}>0$).
$f''>0$ ⇒ $f'$ 는 증가. 따라서 $x<0$ 에서 $f'(x)<f'(0)<0$ 이므로 $f$ 는 왼쪽으로 갈수록 적어도 일정 비율($|f'(0)|$)로 커져 $x\to-\infty$ 에서 $f\to+\infty$. 이는 $f<0$ 과 모순.
$x_1<x_2$ 이면 $f(x_1)<f(x_2)$, $g(x_1)<g(x_2)$ ⇒ 더하면 $(f+g)(x_1)<(f+g)(x_2)$.
반례: $f(x)=x$, $g(x)=2x$ ⇒ $f-g=-x$ 는 감소.
음수가 섞이면 부호가 뒤집힌다. 반례: $f(x)=g(x)=x$ on $I=(-\infty,0)$ ⇒ $fg=x^2$ 은 감소.
$0<f(x_1)<f(x_2)$, $0<g(x_1)<g(x_2)$ ⇒ $f(x_1)g(x_1)<f(x_2)g(x_1)<f(x_2)g(x_2)$. (또는 $(fg)'=f'g+fg'>0$.)
$0<f(x_1)<f(x_2)$ ⇒ $\dfrac1{f(x_1)}>\dfrac1{f(x_2)}$.
$f(-x)=f(x)$ 를 미분하면 $-f'(-x)=f'(x)$ ⇒ $f'$ 는 홀함수. 예: $f=x^2$, $f'=2x$.
$f(x+p)=f(x)$ 를 미분하면 $f'(x+p)=f'(x)$. (예: $\sin\to\cos$)
만약 $f(1)=f(0)$ 이면 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$ 인 $c\in(0,1)$ 이 존재 — 모순.
$1^\infty$ 은 부정형. 반례: $f(x)=1+\frac1x$, $g(x)=x$ ⇒ 극한 $=e$.
분모 $e^0=1$ 이므로 그냥 대입: $\dfrac01=0$. (부정형이 아니다.)
📋 개념 요약 3.10 – 4.5 · 한 장으로 끝내는 핵심 개념
예제·풀이는 빼고 정의 · 정리 · 판정법만 모았습니다. 세부 설명은 각 절 탭에서 확인하세요.
- 선형화 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ ⇒ $x\approx a$ 일 때 $f(x)\approx L(x)$ (= 접선)
- 접선이 곡선 위 ⇒ 과대추정 ($f''<0$), 아래 ⇒ 과소추정 ($f''>0$)
- 미분소 $dy=f'(x)\,dx$, $\Delta y\approx dy$ ($dx$ 작을수록 정확)
- 오차 전파: 상대오차 $\approx\dfrac{dy}{y}$ ; $y=x^n$ 이면 $\dfrac{dy}{y}=n\dfrac{dx}{x}$
- $x=0$ 근처: $\sin x\approx x,\ \cos x\approx1,\ e^x\approx1+x,\ \ln(1+x)\approx x,\ (1+x)^k\approx1+kx$
- $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2,\ \cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2,\ \tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}$ ($\cosh\ge1$, $|\tanh|<1$)
- $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ , $1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$ (삼각함수와 부호 반대)
- $(\sinh)'=\cosh,\ (\cosh)'=\sinh,\ (\tanh)'=\operatorname{sech}^2$ / sech·csch·coth 쪽에 마이너스
- $\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\ \cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\,(x\ge1),\ \tanh^{-1}x=\tfrac12\ln\tfrac{1+x}{1-x}$
- $(\sinh^{-1})'=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}},\ (\cosh^{-1})'=\dfrac1{\sqrt{x^2-1}},\ (\tanh^{-1})'=\dfrac1{1-x^2}$
- 극값 정리(EVT): $f$ 가 연속 + 닫힌구간 $[a,b]$ ⇒ 절대최댓값·최솟값 존재
- 페르마 정리: 국소 극값 & $f'(c)$ 존재 ⇒ $f'(c)=0$ (역은 거짓: $x^3$, $|x|$)
- 임계수: 정의역 안에서 $f'(c)=0$ 이거나 $f'(c)$ 가 존재하지 않는 $c$
- 닫힌구간법: 임계수 값 + 끝점 값을 모두 비교 → 최대 = 절대최댓값, 최소 = 절대최솟값
- 롤: 연속 on $[a,b]$, 미분가능 on $(a,b)$, $f(a)=f(b)$ ⇒ $f'(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$
- MVT: 연속 + 미분가능 ⇒ $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (평균변화율 = 순간변화율 = 시컨트와 평행한 접선)
- $f'\equiv0$ ⇒ 상수 / $f'=g'$ ⇒ $f=g+C$ (구간에서)
- 근의 개수 증명: IVT(존재) + 롤(유일, 귀류법)
- I/D Test: $f'>0$ ⇒ 증가, $f'<0$ ⇒ 감소
- 1계 판정: $f'$ 부호 + → − ⇒ 극대, − → + ⇒ 극소, 안 바뀌면 극값 아님
- 오목성: $f''>0$ ⇒ CU(접선 위), $f''<0$ ⇒ CD(접선 아래)
- 변곡점: 연속인 점에서 오목성이 바뀌는 점 ($f''=0$ 만으론 부족)
- 2계 판정: $f'(c)=0$ 이고 $f''(c)>0$ ⇒ 극소, $f''(c)<0$ ⇒ 극대, $f''(c)=0$ ⇒ 판정 불가 → 1계 판정
- 로피탈: $\dfrac00$ 또는 $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ 일 때 $\displaystyle\lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}$ (분자·분모 각각 미분, 반복 가능)
- 적용 전 반드시 부정형인지 확인 (아니면 그냥 대입)
- $0\cdot\infty$ → 분수로: $fg=\dfrac f{1/g}$ / $\infty-\infty$ → 통분·유리화·인수묶기
- $0^0,\ \infty^0,\ 1^\infty$ → $\ln y=g\ln f$ 의 극한 $L$ 을 구하고 $y\to e^{L}$
- 부정형이 아닌 것: $0^\infty,\ \infty+\infty,\ \infty\cdot\infty$ / 성장 서열 $\ln x\ll x^p\ll e^x$
- A–H: Domain → Intercepts → Symmetry → Asymptotes → $f'$(증감) → 극값 → $f''$(오목·변곡) → Sketch
- 대칭: 짝함수 $f(-x)=f(x)$ ($y$축), 홀함수 $f(-x)=-f(x)$ (원점), 주기 $f(x+p)=f(x)$
- 점근선: 수평 $\lim_{x\to\pm\infty}f=L$ / 수직 $\lim_{x\to a^\pm}f=\pm\infty$ (좌·우 각각) / 사선 $\lim[f-(mx+b)]=0$
- 유리함수: (분자 차수) = (분모 차수)+1 ⇒ 장제법의 몫이 사선점근선
- 페르마 정리·2계 판정의 역을 그대로 쓰는 것 ($f'(c)=0$ ≠ 극값, $f''(c)=0$ ≠ 변곡점)
- 로피탈을 부정형이 아닌데 쓰거나, 몫의 미분법을 쓰는 것 / $\ln y$ 극한에서 $e^{L}$ 로 되돌리기 누락
- MVT·롤 적용 시 연속·미분가능·구간 조건 검증 누락 / 임계수 중 $f'$ 미존재 점 누락
🧾 증명 8선 식만 딱 · 외우기용
번호는 시험 준비 목록 순서입니다. 각 증명은 한 줄 핵심 + 식 전개만 적었습니다. 위의 “식 가리기”를 켜고 줄을 눌러 하나씩 떠올리며 외우세요.
- (I/D) $x_1\lt x_2$ ⇒ MVT: $\;f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$
- $f'\gt0\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)\gt0\Rightarrow f\uparrow$ ($f'\lt0\Rightarrow f\downarrow$)
- $f'\gt0$ on $(c-\delta,c)$ ⇒ $f\uparrow$ ⇒ $f(x)\le f(c)$ ($x\lt c$)
- $f'\lt0$ on $(c,c+\delta)$ ⇒ $f\downarrow$ ⇒ $f(x)\le f(c)$ ($x\gt c$)
- ∴ $f(c)\ge f(x)$ near $c$ ⇒ 국소최대 ∎ ($-\to+$ 는 부등호 반대 ⇒ 국소최소)
- $h(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a)$ (= f − 시컨트)
- $h(a)=0=h(b)$, $h$ 연속·미분가능
- Rolle ⇒ $h'(c)=0$
- $h'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ⇒ $\;f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ∎
- Case I $f\equiv k$ ⇒ $f'\equiv0$
- Case II $f(x)\gt f(a)$ 인 $x$ 존재 ⇒ (EVT) 최댓값 존재, $f(a)=f(b)$ ⇒ 최댓값은 내부점 $c\in(a,b)$
- $c$ 에서 국소최대 & 미분가능 ⇒ (Fermat) $f'(c)=0$
- Case III $f(x)\lt f(a)$ 인 $x$ 존재 ⇒ 최솟값으로 똑같이 ∎
- $x_1\lt x_2$ 임의 ⇒ MVT: $\;f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$
- $f'(c)=0$ ⇒ $\;f(x_2)-f(x_1)=0$
- ∴ $f(x_1)=f(x_2)$ ∎
- $F(x)=f(x)-g(x)$
- $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0$
- Thm(4) ⇒ $F\equiv C$ ⇒ $f=g+C$ ∎
- $g(a)\ne g(b)$ (같으면 Rolle ⇒ $g'(c)=0$ 모순)
- $K=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
- $h(x)=f(x)-f(a)-K\,[\,g(x)-g(a)\,]$
- $h(a)=0$, $h(b)=f(b)-f(a)-K[g(b)-g(a)]=0$
- Rolle ⇒ $h'(c)=f'(c)-K\,g'(c)=0$ ⇒ $\;\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=K$ ∎
- $f(a)=g(a)=0$ (연속 확장)
- Cauchy on $[a,x]$: $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, $a\lt c\lt x$
- $x\to a^+$ ⇒ $c\to a^+$
- ∴ $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{c\to a^+}\frac{f'(c)}{g'(c)}$ ∎
- (간단 버전: $f',g'$ 연속, $g'(a)\ne0$ ⇒ $\dfrac{f'(a)}{g'(a)}=\dfrac{\lim\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}$)
- (국소최대) $f(c+h)-f(c)\le0$ ($|h|$ 작을 때)
- $h\gt0$: $\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0$ ⇒ $f'(c)=\lim_{h\to0^+}\ \le0$
- $h\lt0$: $\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0$ (÷음수) ⇒ $f'(c)=\lim_{h\to0^-}\ \ge0$
- ∴ $f'(c)=0$ ∎ (국소최소는 부등호 반대)
※ 목록의 4번 “Thm”은 4.2의 Theorem 5(도함수가 0이면 상수)로 정리했습니다. L'Hospital 의 $\infty/\infty$ 형 증명은 더 복잡해 교재 Appendix F 에 있으며, 시험에서는 $0/0$ 증명을 기준으로 정리했습니다.
📌 공식 치트시트 시험장 들어가기 5분 전에
3.10 선형근사·미분소
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$ $$dy=f'(x)dx,\quad \Delta y\approx dy,\quad \text{상대오차}\approx\frac{dy}{y}$$ $$\sin x\approx x,\ \cos x\approx1,\ e^x\approx1+x,\ \ln(1+x)\approx x,\ (1+x)^k\approx1+kx$$3.11 쌍곡함수
$$\cosh^2x-\sinh^2x=1,\quad 1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$$ $$(\sinh)'=\cosh,\ (\cosh)'=\sinh,\ (\tanh)'=\operatorname{sech}^2$$ $$(\operatorname{sech})'=-\operatorname{sech}\tanh,\ (\operatorname{csch})'=-\operatorname{csch}\coth,\ (\coth)'=-\operatorname{csch}^2$$ $$(\sinh^{-1}x)'=\tfrac1{\sqrt{x^2+1}},\ (\cosh^{-1}x)'=\tfrac1{\sqrt{x^2-1}},\ (\tanh^{-1}x)'=\tfrac1{1-x^2}$$ $$\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\quad\cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\quad \tanh^{-1}x=\tfrac12\ln\tfrac{1+x}{1-x}$$4.1 – 4.2
- EVT: 연속 + 닫힌구간 ⇒ 절대 최댓값·최솟값 존재
- Fermat: 국소 극값 & $f'(c)$ 존재 ⇒ $f'(c)=0$ (역 X)
- 임계수: $f'(c)=0$ 또는 $f'(c)$ DNE (정의역 안에서)
- 닫힌구간법: 임계수 값 + 끝점 값 → 비교
- Rolle: 연속·미분가능·$f(a)=f(b)$ ⇒ $\exists c: f'(c)=0$
- MVT: $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
- $f'\equiv0$ ⇒ 상수; $f'=g'$ ⇒ $f=g+C$
4.3 – 4.5
- $f'>0$ ↗, $f'<0$ ↘ (I/D Test)
- 1계 판정: $f'$ + → − ⇒ 극대, − → + ⇒ 극소
- $f''>0$ CU, $f''<0$ CD; 변곡점 = 오목성이 바뀌는 점
- 2계 판정: $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ ⇒ 극소; $f''(c)<0$ ⇒ 극대; $f''(c)=0$ ⇒ 판정불가
- 로피탈: $\tfrac00$, $\tfrac\infty\infty$ 일 때 $\lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}$
- $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ → 몫으로 / $0^0,\infty^0,1^\infty$ → $\ln$ 취하기 → $e^L$
- 곡선 그리기: ADomain BIntercepts CSymmetry DAsymptotes E$f'$ 증감 F극값 G$f''$ 오목·변곡 HSketch
❓ 셀프 퀴즈 질문을 클릭하면 답이 나옵니다
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- 3.10 선형화 공식 $L(x)$ 와 “작은 각” 근사식 6개를 즉시 쓸 수 있다.
- 3.10 $dy=f'(x)dx$, 상대오차/백분율오차 계산 (라디안 변환 주의).
- 3.11 쌍곡함수 정의 6개, 항등식, 도함수 6개(부호 주의)를 외웠다.
- 3.11 역쌍곡함수의 로그 표현 3개와 도함수, 정의역을 안다.
- 4.1 EVT, Fermat, 임계수 정의를 말로 설명할 수 있다.
- 4.1 닫힌구간법으로 절대 최대·최소 문제를 5분 안에 푼다.
- 4.2 Rolle/MVT 조건 검증 → $c$ 값 찾기 문제 풀이 가능.
- 4.2 “근이 하나뿐”(IVT+Rolle), “항등식 증명”(도함수=0) 템플릿 숙지.
- 4.3 부호표로 증감·오목 구간을 정리하고 1계/2계 판정법을 구분해서 쓴다.
- 4.3 그래프 조건($f',f''$ 부호, 극한)만 주어졌을 때 개형을 그릴 수 있다.
- 4.4 부정형 유형별 변환법(0·∞, ∞−∞, 0⁰/∞⁰/1^∞)을 예제 없이 말할 수 있다.
- 4.4 로피탈 적용 전 조건 확인 습관 (분자·분모 극한 먼저 계산).
- 4.5 A–H 체크리스트 순서대로 예제 1(유리함수), 3($xe^x$), 6(사선점근선)을 혼자 그려 본다.
- 모든 예제의 “▶ 예제” 를 펼치기 전에 먼저 스스로 풀어 봤다.
출처: Stewart, Clegg, Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th Ed. (Metric Version), §3.10–4.5 · 본 노트는 학습용 요약이며 예제 풀이는 교재 내용을 바탕으로 재구성했습니다.
수식 렌더링에 KaTeX(CDN)를 사용하므로 최초 열람 시 인터넷 연결이 필요합니다.