4.6 – 5.3 시험 직전 학습 노트
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4Applications of Differentiation (4.6 – 4.9)
4.6 Graphing with Calculus and Technology 교재 p.329–336
핵심 아이디어: 4.5는 “미분 정보 → 손으로 그래프”였고, 4.6은 반대로 “계산기·컴퓨터가 그려 준 그래프 → 미분으로 검증하고 보정”한다. 한 화면에 모든 특징이 담기지 않는 함수가 많기 때문에 창(viewing rectangle)을 바꿔 가며 보고, 눈으로 본 추정을 미분으로 확정한다.
■Calculus + Technology 절차 (창 선택과 검증)
- 큰 창으로 끝 행동(end behavior)과 점근선을 확인한다. 극한 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, 분모가 0이 되는 점 근처의 극한으로 확정한다.
- $f'$ 의 그래프에서 부호가 바뀌는 지점을 읽는다 ⇒ 1계 도함수 판정법으로 증가·감소, 극대·극소.
- $f''$ 의 그래프에서 부호가 바뀌는 지점을 읽는다 ⇒ 위로 볼록·아래로 볼록, 변곡점.
- 세부가 뭉개진 곳은 줌인, 전체 모양이 필요하면 줌아웃. 한 장으로 안 되면 여러 장을 합쳐서 해석한다.
- 화면에서 얻은 근삿값은 가능하면 미분(정확한 식)으로 정확값으로 바꾼다.
- $f$ 의 그래프에서는 안 보이는 극값도 $f'$ 의 그래프에서는 부호 변화로 드러난다 (값이 작거나 구간이 좁을 때).
- 변곡점은 $f$ 그래프로 눈대중하기 어렵다. $f''$ 의 부호 변화를 봐야 한다.
- 인수 분해된 유리함수는 분모의 영점 ⇒ 수직점근선, 분자의 영점 ⇒ x절편이고, 중복도가 짝수이면 x축을 닿기만 하고 홀수이면 통과한다. 이 정보만으로도 미분 없이 대략의 모양이 나온다.
■다항식과 유리함수 (예제 1 – 3)
예제 1 · $f(x)=2x^6+3x^5+3x^3-2x^2$ 의 극대·극소와 오목성을 $f',f''$ 그래프로 추정하시오.
$f'(x)=12x^5+15x^4+9x^2-4x,\qquad f''(x)=60x^4+60x^3+18x-4$.
큰 창 ($-5\le x\le 5$)에서는 $2x^6$ 처럼 위로 열리는 모양만 보이고, 세부는 가려진다. 창을 $[-3,2]\times[-50,100]$ 으로 바꾸면 최솟값이 보이지만 원점 근처의 특징은 여전히 뭉개져 있다.
- $f'$ 의 부호: $x\approx-1.62$ 에서 $-\to+$, $x=0$ 에서 $+\to-$, $x\approx0.35$ 에서 $-\to+$.
- 따라서 국소최솟값 $f(-1.62)\approx-15.33$ (절대최솟값), 국소최댓값 $f(0)=0$, 국소최솟값 $f(0.35)\approx-0.10$. 마지막 둘은 큰 창에서는 보이지 않았다 (원점 근처로 줌인하면 보인다).
- $f''$ 의 부호: $x\approx-1.23$ 에서 $+\to-$, $x\approx0.19$ 에서 $-\to+$.
- 위로 볼록(CU): $(-\infty,-1.23)$, $(0.19,\infty)$ / 아래로 볼록(CD): $(-1.23,0.19)$.
- 변곡점: $(-1.23,\,-10.18)$, $(0.19,\,-0.05)$.
결론: 한 장의 그래프로는 부족하고, 서로 다른 창의 그래프를 함께 봐야 정확한 그림이 된다.
예제 2 · $f(x)=\dfrac{x^2+7x+3}{x^2}$ 의 점근선, 극값, 오목성을 구하고 정확값을 미분으로 확인하시오.
자동 눈금의 첫 그래프는 쓸모가 없다. 창 $[-10,10]\times[-10,10]$ 으로 바꾸면 모양이 보인다.
- 수직점근선 $x=0$ : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2+7x+3}{x^2}=\infty$ (분자 $\to3>0$, 분모 $\to0^+$).
- 수평점근선 $y=1$ : $f(x)=1+\dfrac7x+\dfrac3{x^2}\to1$ ($x\to\pm\infty$).
- x절편: $x^2+7x+3=0$ ⇒ $x=\dfrac{-7\pm\sqrt{37}}{2}\approx-0.46,\ -6.54$.
미분으로 정확하게:
$f'(x)=-\dfrac7{x^2}-\dfrac6{x^3}=-\dfrac{7x+6}{x^3}$ ⇒ $f'\gt0$ on $\left(-\tfrac67,0\right)$, $f'\lt0$ on $\left(-\infty,-\tfrac67\right)$ 과 $(0,\infty)$.
정확한 극솟값: $f\!\left(-\tfrac67\right)=-\dfrac{37}{12}\approx-3.08$.
$f''(x)=\dfrac{14}{x^3}+\dfrac{18}{x^4}=\dfrac{2(7x+9)}{x^4}$ ⇒ $f''\gt0$ for $x\gt-\tfrac97\ (x\ne0)$, $f''\lt0$ for $x\lt-\tfrac97$.
CU: $\left(-\tfrac97,0\right)$, $(0,\infty)$ / CD: $\left(-\infty,-\tfrac97\right)$. 변곡점 $\left(-\tfrac97,\,-\tfrac{71}{27}\right)$.
예제 3 · $f(x)=\dfrac{x^2(x+1)^3}{(x-2)^2(x-4)^4}$ 를 미분 없이 점근선·절편 정보만으로 스케치하시오.
- 수직점근선: 분모의 인수 $(x-2)^2,(x-4)^4$ ⇒ $x=2$, $x=4$. 두 인수 모두 짝수 거듭제곱이고 분자가 그 점에서 양수이므로 양쪽에서 $+\infty$.
- 수평점근선: 분자 5차, 분모 6차 ⇒ $f(x)\to0$ ($x\to\pm\infty$), 곧 $y=0$.
- x절편: $x=0$ 은 $x^2$ (짝수 중복) ⇒ 닿고 튕겨 나간다(부호 불변). $x=-1$ 은 $(x+1)^3$ (홀수 중복) ⇒ 통과하며 수평접선.
이 정보만으로 큰 줄기가 나온다. 이후 확대·축소로 세부를 확인하면 서로 다른 세 개의 창이 필요하다 (예: $x\approx-20$ 의 절대최솟값 $\approx-0.02$, $x\approx-0.3$ 의 아주 작은 국소최댓값, $x\approx2.5$ 의 국소최솟값 $\approx211$). $f''$ 를 손으로 계산하는 것은 비현실적이므로 컴퓨터 대수 시스템(CAS)에 맡긴다.
교훈: 모든 특징을 한 그래프에 올리려면 과장과 왜곡이 있는 손그림밖에 없다. 그 손그림은 필수 정보(점근선, 절편 거동, 증감)를 요약한 것이다.
■주기함수 (예제 4)
예제 4 · $f(x)=\sin(x+\sin2x)$ 의 $[0,\pi]$ 에서 극값, 증감 구간, 변곡점을 추정하시오.
성질 먼저: 주기 $2\pi$, 홀함수, $|f(x)|\le1$ ⇒ 창은 $[0,\pi]\times[-1.1,1.1]$ 로 바로 정해진다.
$f'(x)=\cos(x+\sin2x)\,(1+2\cos2x)$ — 임계수는 $\cos(x+\sin2x)=0$ 또는 $\cos2x=-\tfrac12$ ($x=\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3$).
| 증가 | $(0,0.6)$, $(1.0,1.6)$, $(2.1,2.5)$ |
|---|---|
| 감소 | $(0.6,1.0)$, $(1.6,2.1)$, $(2.5,\pi)$ |
| 국소최대 | $f(0.62)\approx f(1.57)\approx f(2.52)\approx1$ |
| 국소최소 | $f(\tfrac\pi3)\approx f(\tfrac{2\pi}3)\approx0.94$ |
| 변곡점 ($f''$ 그래프) | $(0,0)$, $(0.80,0.97)$, $(1.30,0.97)$, $(1.84,0.97)$, $(2.35,0.97)$ |
$[0,\pi]$ 의 결과를 홀함수·주기성으로 확장하면 $[-2\pi,2\pi]$ 의 전체 그래프가 된다.
이 함수는 $f(x)=\sin(x+\sin cx)$ 꼴의 함수족에서 $c=2$ 인 경우로, 주파수 변조(FM)에 나오는 모양이다.
■함수족 — 상수 $c$ 가 변할 때 (예제 5)
식에 임의의 상수가 들어 있어 상수의 값마다 하나의 함수가 정해지는 모임. 목표는 $c$ 가 변할 때 그래프의 공통점과 전이값(transitional value) — 모양이 바뀌는 $c$ — 을 찾는 것.
예제 5 · $f(x)=\dfrac1{x^2+2x+c}$ 의 그래프는 $c$ 에 따라 어떻게 변하는가?
- 공통: 모든 $c$ 에서 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=0$ ⇒ $x$축이 수평점근선.
- 수직점근선: $x^2+2x+c=0$ ⇒ $x=-1\pm\sqrt{1-c}$.
- $c\gt1$ : 없음 / $c=1$ : $x=-1$ 하나 ($f=\frac1{(x+1)^2}$) / $c\lt1$ : 두 개. 전이값 $c=1$.
- $f'(x)=-\dfrac{2(x+1)}{(x^2+2x+c)^2}$ ⇒ $x=-1$ 에서 $f'=0$, $x\lt-1$ 에서 증가, $x\gt-1$ 에서 감소.
- $c\gt1$ : 절대최댓값 $f(-1)=\dfrac1{c-1}$ ($c$ 가 커지면 0에 가까워진다). $c\lt1$ : $f(-1)=\dfrac1{c-1}$ 은 두 점근선 사이의 국소최댓값(음수).
- 변곡점은 $c\gt1$ 일 때만 있고 $x=-1\pm\dfrac{\sqrt{3(c-1)}}3$ ($c\le1$ 이면 없음). $c$ 가 커질수록 벌어진다.
- $c$ 가 $-\infty$ 쪽으로 갈수록 두 수직점근선의 간격 $2\sqrt{1-c}$ 가 커지고, 극점은 $x$축으로 다가간다.
- 그래프에서 읽은 값은 “근삿값”이다. 문제가 exact 를 요구하면 $f'=0$, $f''=0$ 을 풀어 정확한 값을 쓴다 (예제 2의 $-\tfrac{37}{12}$, $-\tfrac97$).
- $f''(c)=0$ 이라는 사실만으로 변곡점이라고 하지 않는다. $f''$ 의 부호가 바뀌어야 한다.
- 점근선 자리($x=0$ 등)는 증가·감소·오목 구간을 쓸 때 구간에서 빼서 쓴다 ($(-\tfrac97,0)\cup(0,\infty)$).
- 함수족 문제는 먼저 모든 $c$ 에서 공통인 성질(극한, 대칭)을 쓰고 그다음 전이값을 찾는다.
4.7 Optimization Problems 교재 p.336–350
핵심 아이디어: 가장 어려운 단계는 미분이 아니라 문장을 함수 하나로 바꾸는 것이다. 식을 한 변수로 줄이고, 정의역을 적고, 4.1·4.3의 방법으로 절대최댓값·최솟값을 찾는다.
■Steps in Solving Optimization Problems (풀이 6단계)
- 문제 이해: 구하는 것(unknown), 주어진 양, 조건이 무엇인지 적는다.
- 그림을 그리고 주어진 양과 구하는 양을 표시한다.
- 기호를 정한다. 최대·최소로 만들 양을 $Q$ 라 하고 나머지는 $x,y,\dots$ (넓이 $A$, 높이 $h$, 시간 $t$ 처럼 이니셜).
- $Q$ 를 다른 기호들의 식으로 쓴다.
- 변수가 둘 이상이면 조건식으로 하나만 남기고 소거해 $Q=f(x)$ 를 만든다. 정의역(문제 상황에서 가능한 범위)을 적는다.
- 4.1(닫힌구간법)·4.3(판정법)으로 $f$ 의 절대최댓값 또는 최솟값을 구한다.
- 처음에는 몇 가지 구체적인 값을 넣어 보면서 감을 잡는다 (너무 길쭉하거나 너무 납작하면 넓이가 작다 ⇒ 중간에 최대가 있을 것).
- 답은 항상 문제의 물음(예: 가로·세로, 반지름과 높이, 상환할 금액)으로 마무리한다.
■절대극값의 1계 도함수 판정법
$c$ 가 구간 위에서 연속인 함수 $f$ 의 유일한 임계수일 때
- (a) $x\lt c$ 에서 $f'\gt0$, $x\gt c$ 에서 $f'\lt0$ ⇒ $f(c)$ 는 절대최댓값.
- (b) $x\lt c$ 에서 $f'\lt0$, $x\gt c$ 에서 $f'\gt0$ ⇒ $f(c)$ 는 절대최솟값.
- 정의역이 $(0,\infty)$ 처럼 열려 있어 닫힌구간법을 쓸 수 없을 때 이 판정법을 쓴다. 극한 논법으로도 같은 결론을 낼 수 있다 ($r\to0^+$, $r\to\infty$ 에서 $A\to\infty$ 이면 최솟값이 존재하고 그 자리가 임계수).
- 두 번째 도함수가 항상 음수($f''\lt0$)이면 곧 아래로 볼록이므로 임계점이 절대최대 — 포물선 문제에서 편한 방법.
■기하·거리·시간 문제 (예제 1 – 5)
예제 1 · 길이 1200 m 의 울타리로 한쪽이 강에 접한 직사각형 밭을 만든다(강쪽 울타리 불필요). 넓이가 최대가 되는 가로·세로는?
강에 수직인 변을 $x$, 강과 평행한 변을 $y$ 라 하면 $A=xy$, 울타리 조건 $2x+y=1200$ ⇒ $y=1200-2x$.
$A(x)=1200x-2x^2,\quad 0\le x\le600$. $A'(x)=1200-4x=0$ ⇒ $x=300$.
닫힌구간법: $A(0)=0,\ A(300)=180000,\ A(600)=0$ ⇒ 최대 $180{,}000\ \text{m}^2$. (또는 $A''=-4\lt0$.)
$y=1200-600=600$. 답: 강에 수직 300 m, 평행 600 m.
예제 2 · 부피 1 L (=1000 cm³) 의 원통형 캔을 만들 때 금속(겉넓이)이 최소가 되는 반지름과 높이는?
$A=2\pi r^2+2\pi rh$ (위·아래 원 + 옆면 직사각형 $2\pi r\times h$), 조건 $\pi r^2h=1000$ ⇒ $h=\dfrac{1000}{\pi r^2}$.
$A(r)=2\pi r^2+\dfrac{2000}{r}$, $r\gt0$. $A'(r)=4\pi r-\dfrac{2000}{r^2}=\dfrac{4(\pi r^3-500)}{r^2}$.
임계수 $r=\sqrt[3]{500/\pi}\approx5.42$ cm. $r$ 이 그보다 작으면 $A'\lt0$, 크면 $A'\gt0$ ⇒ 절대최솟값 (또는 $r\to0^+,\infty$ 에서 $A\to\infty$).
$h=\dfrac{1000}{\pi r^2}=2r\approx10.84$ cm ⇒ 높이 = 지름일 때 최소.
$h$ 를 소거하지 않고 $A=2\pi r^2+2\pi rh$, $\pi r^2h=1000$ 을 $r$ 로 각각 미분한다 ($h$ 를 $r$ 의 함수로 본다). 최소에서 $A'=0$ 이므로 $2r+h+rh'=0$ 과 $rh'+2h=0$ 에서 두 식을 빼면 $2r-h=0$, 곧 $h=2r$. 소거가 번거로울 때 쓸 수 있다.
예제 3 · 포물선 $y^2=2x$ 위에서 점 $(1,4)$ 에 가장 가까운 점은?
거리 $d=\sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2}$ 는 제곱근 때문에 번거롭다. $d^2$ 을 최소화해도 같은 점이 나온다 ($x=\tfrac12y^2$ 대입).
$f(y)=d^2=\left(\tfrac12y^2-1\right)^2+(y-4)^2,\qquad f'(y)=2\left(\tfrac12y^2-1\right)y+2(y-4)=y^3-8$.
$f'=0$ ⇒ $y=2$ ($y\lt2$ 에서 $f'\lt0$, $y\gt2$ 에서 $f'\gt0$ ⇒ 절대최솟값). $x=\tfrac12y^2=2$.
가장 가까운 점 $(2,2)$, 거리 $\sqrt{f(2)}=\sqrt5$.
예제 4 · 폭 3 km 의 강 한쪽의 점 A 에서 건너편 8 km 하류의 점 B 로 가려 한다. 노 젓기 6 km/h, 달리기 8 km/h 일 때 어디에 상륙해야 가장 빨리 도착하는가?
A 의 맞은편 점을 C, 상륙점을 D 라 하고 $x=|CD|$ 로 둔다. 노 젓는 거리 $\sqrt{x^2+9}$, 달리는 거리 $8-x$. $\text{시간}=\dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 이므로
$T(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+9}}6+\dfrac{8-x}8,\qquad 0\le x\le8$.
$T'(x)=\dfrac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\dfrac18=0$ ⇒ $4x=3\sqrt{x^2+9}$ ⇒ $7x^2=81$ ⇒ $x=\dfrac9{\sqrt7}\approx3.40$.
닫힌구간법으로 끝점과 비교: $T(0)=1.5$, $T\!\left(\tfrac9{\sqrt7}\right)=1+\tfrac{\sqrt7}8\approx1.33$, $T(8)=\tfrac{\sqrt{73}}6\approx1.42$ ⇒ 최소는 $x=9/\sqrt7$ km.
답: C 에서 B 쪽으로 약 3.4 km 지점 (A 의 하류 쪽 $\approx3.4$ km). 약 1.33시간.
예제 5 · 반지름 $r$ 인 반원에 내접하는 직사각형 중 넓이가 최대인 것의 넓이는?
풀이 1 (미분): 반원 $x^2+y^2=r^2$ ($y\ge0$), 제1사분면의 꼭짓점 $(x,y)$ ⇒ 가로 $2x$, 세로 $y$.
$A=2xy=2x\sqrt{r^2-x^2}$, $0\le x\le r$. $A'=2\sqrt{r^2-x^2}-\dfrac{2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}=\dfrac{2(r^2-2x^2)}{\sqrt{r^2-x^2}}$.
$A'=0$ ⇒ $x=\dfrac r{\sqrt2}$. $A(0)=A(r)=0$ 이므로 최대. $A_{\max}=2\cdot\dfrac r{\sqrt2}\cdot\dfrac r{\sqrt2}=r^2$.
풀이 2 (각도 변수): 꼭짓점이 $(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ 이면 $A=2r\cos\theta\cdot r\sin\theta=r^2\sin2\theta$. $\sin2\theta\le1$ ⇒ $\theta=\dfrac\pi4$ 일 때 최대 $r^2$. 미분이 필요 없다.
- 정의역을 쓰고 끝점도 비교한다. 예제 4처럼 내부 임계점이 이기더라도 확인 과정이 점수다.
- 구한 점이 최대인지 최소인지 확인한다 (부호 변화, 끝점 비교, $f''$).
- 제약조건으로 소거할 때 단위를 맞춘다 (L → cm³, m ↔ cm).
- 거리 문제는 $d$ 대신 $d^2$ 을 쓰면 계산이 쉬워진다. 단, 마지막에 $d$ 를 구해야 하면 제곱근을 씌운다.
- 열린 상자 문제 $V=x(L-2x)^2$ : 정의역 $0\lt x\lt L/2$, 임계수 두 개($x=L/6$, $x=L/2$)에서 $L/2$ 는 부피 0 이라 버린다.
■Applications to Business and Economics (경영·경제 응용)
- 비용함수 $C(x)$ : $x$ 개 생산 비용. 한계비용 $C'(x)$.
- 수요함수(가격함수) $p(x)$ : $x$ 개를 팔 때 받을 수 있는 단가. 보통 $x$ 에 대해 감소.
- 수익함수 $R(x)=x\,p(x)$. 한계수익 $R'(x)$.
- 이윤함수 $P(x)=R(x)-C(x)$. 한계이윤 $P'(x)$.
이윤이 최대인 점에서 $P'(x)=0$, 곧 $R'(x)=C'(x)$ (한계수익 = 한계비용).
예제 6 · 어떤 가게는 모니터를 주 200대, 대당 350달러에 팔고 있다. 조사 결과 환급금(rebate) 10달러당 주 판매량이 20대씩 늘어난다. 수요함수와 수익함수를 구하고, 수익이 최대가 되는 환급금을 구하시오.
주당 판매량을 $x$ 라 하면 증가분은 $x-200$. 20대 증가마다 가격이 10달러 내려가므로 한 대 증가에 0.5달러씩 내려간다.
$p(x)=350-\dfrac{10}{20}(x-200)=450-\dfrac12x$, $\quad R(x)=xp(x)=450x-\dfrac12x^2$.
$R'(x)=450-x=0$ ⇒ $x=450$ ($R$ 은 아래로 볼록한 포물선의 꼭짓점이므로 절대최대).
가격 $p(450)=450-225=225$ (달러), 환급금 $350-225=125$ (달러). 답: 125달러 환급.
4.8 Newton's Method 교재 p.351–355
핵심 아이디어: $f(x)=0$ 의 해를 공식으로 못 구할 때(5차 이상 다항식, $\cos x=x$ 같은 초월방정식) 접선의 $x$절편을 새 추정값으로 삼아 반복한다 — 3.10의 선형근사의 응용.
■점화식의 유도 (Newton–Raphson)
$f(x)=0$ 의 해 $r$ 에 대한 첫 추정값 $x_1$ 에서 시작한다. $f'(x_n)\ne0$ 일 때
수열 $x_1,x_2,x_3,\dots$ 이 $r$ 에 가까워지면 ($\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=r$) “수렴한다”고 한다.
- 기하: 점 $(x_1,f(x_1))$ 에서의 접선 $y-f(x_1)=f'(x_1)(x-x_1)$ 은 곡선과 거의 같으므로 접선의 $x$절편이 곡선의 $x$절편 $r$ 에 가깝다. 접선에서 $y=0$ 을 넣으면 $x_2=x_1-\dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}$.
- 같은 과정을 $x_2$ 에서 반복하면 $x_3$, … : 반복(iterative) 과정이라 계산기·프로그램에 적합하다.
- 첫 추정값 $x_1$ 은 그래프(교점 위치)나 부호 변화($f(a)f(b)\lt0$)로 정한다.
■예제와 멈추는 기준
$x_n$ 과 $x_{n+1}$ 이 원하는 소수 자리까지 같으면 멈춘다. 예: 소수 8째 자리까지 구하려면 두 값이 소수 8째 자리까지 일치할 때. (단순근 근처에서는 맞는 자릿수가 대략 두 배씩 늘어난다.)
예제 1 · $x_1=2$ 에서 시작하여 방정식 $x^3-2x-5=0$ 의 해에 대한 세 번째 근삿값 $x_3$ 를 구하시오.
$f(x)=x^3-2x-5,\ f'(x)=3x^2-2$. ($f(1)=-6,\ f(2)=-1,\ f(3)=16$ 이므로 $x_1=2$ 가 자연스러운 시작.)
$x_2=2-\dfrac{f(2)}{f'(2)}=2-\dfrac{-1}{10}=2.1$.
$x_3=2.1-\dfrac{(2.1)^3-2(2.1)-5}{3(2.1)^2-2}=2.1-\dfrac{0.061}{11.23}\approx2.0946$ (소수 4자리까지 정확).
예제 2 · 뉴턴의 방법으로 $\sqrt[6]{2}$ 를 소수 8째 자리까지 구하시오.
$\sqrt[6]{2}$ 는 $x^6-2=0$ 의 양의 해. $f(x)=x^6-2$, $f'(x)=6x^5$ ⇒
$x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^6-2}{6x_n^5}$. $x_1=1$ 로 시작하면
| $n$ | $x_n$ |
|---|---|
| 2 | 1.16666667 |
| 3 | 1.12644368 |
| 4 | 1.12249707 |
| 5 | 1.12246205 |
| 6 | 1.12246205 |
$x_5$ 와 $x_6$ 이 소수 8째 자리까지 같으므로 $\sqrt[6]{2}\approx1.12246205$.
예제 3 · $\cos x=x$ 의 해를 소수 6째 자리까지 구하시오.
표준형 $\cos x-x=0$ 으로 쓰고 $f(x)=\cos x-x$, $f'(x)=-\sin x-1$.
$x_{n+1}=x_n-\dfrac{\cos x_n-x_n}{-\sin x_n-1}=x_n+\dfrac{\cos x_n-x_n}{\sin x_n+1}$ (라디안 모드).
$y=\cos x$ 와 $y=x$ 의 그래프가 1보다 약간 작은 곳에서 만나므로 $x_1=1$ 로 시작한다:
$x_2\approx0.75036387,\ x_3\approx0.73911289,\ x_4\approx0.73908513,\ x_5\approx0.73908513$.
$x_4,x_5$ 가 같으므로 해 $\approx\mathbf{0.739085}$. 계산기 그래프를 보고 $x_1=0.75$ 로 시작하면 $0.73911114,\ 0.73908513$ 으로 한 단계 덜 걸린다.
- $x^2-a=0$ 에 뉴턴법: $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^2-a}{2x_n}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac a{x_n}\right)$ (바빌로니아의 $\sqrt a$ 알고리즘).
- $\dfrac1x-a=0$ 에 뉴턴법: $f'=-\dfrac1{x^2}$ ⇒ $x_{n+1}=x_n+x_n^2\left(\dfrac1{x_n}-a\right)=2x_n-ax_n^2$. 나눗셈 없이 $1/a$ 를 구하는 알고리즘.
■뉴턴법이 실패할 때
- $f'(x_n)=0$ 이면 $x_{n+1}$ 이 정의되지 않는다 (접선이 수평). $f'(x_1)$ 이 0 에 가까워도 $x_2$ 가 $x_1$ 보다 더 나빠지거나 정의역 밖으로 튄다. 이때는 더 나은 $x_1$ 로 다시 시작한다.
- 항상 수렴하는 것이 아니다. 예: $f(x)=x^3-2x+2$, $x_1=0$ 이면 $x_2=1,\ x_3=0,\ x_4=1,\dots$ 로 0 과 1 을 왕복한다 (해에 가지 않음). 시작값에 민감한 경우도 있다.
- 해가 여러 개이면 시작값이 어느 해로 가는지를 정한다 (그래프로 시작값 선택).
- 계산기는 라디안 모드로 둔다. 삼각함수·지수·로그가 섞인 식도 같은 점화식을 쓴다.
- 답에 쓰는 소수 자리는 문제의 요구(“correct to six decimal places”)에 맞춘다. 마지막 두 값이 그 자리까지 같아야 한다.
4.9 Antiderivatives 교재 p.356–363
핵심 아이디어: 미분의 반대 과정. 속도로부터 위치를, 변화율로부터 양을 알아내려면 “도함수가 주어진 함수가 되는 함수”를 찾아야 한다. 이 단원에서 배운 역도함수 공식은 5장 적분 계산의 도구가 된다.
■The Antiderivative of a Function (역도함수)
구간 $I$ 의 모든 $x$ 에서 $F'(x)=f(x)$ 이면 $F$ 를 $I$ 에서 $f$ 의 역도함수(antiderivative)라 한다.
$F$ 가 구간 $I$ 에서 $f$ 의 역도함수이면, $f$ 의 가장 일반적인 역도함수는
- 예: $f(x)=x^2$ 이면 $\tfrac13x^3,\ \tfrac13x^3+100$ 모두 역도함수이고 일반형은 $\tfrac13x^3+C$. 그래프는 서로 위아래로 평행이동한 곡선들(같은 $x$ 에서 기울기가 같다).
- 왜 이것뿐인가: 4.2에서 평균값 정리로 “도함수가 같은 두 함수는 구간에서 상수만큼 다르다”를 증명했다. 두 역도함수 $F,G$ 는 $F'=G'=f$ 이므로 $G-F=C$.
예제 1 · 다음 함수의 가장 일반적인 역도함수를 구하시오. (a) $\sin x$ (b) $\dfrac1x$ (c) $x^n\ (n\ne-1)$
(a) $(-\cos x)'=\sin x$ ⇒ $G(x)=-\cos x+C$.
(b) $\dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac1x$ ($x\ne0$) 이므로 $0$ 을 포함하지 않는 구간에서 $\ln|x|+C$. 구간이 $(-\infty,0)$ 과 $(0,\infty)$ 두 개이므로 정확히는
$$F(x)=\begin{cases}\ln x+C_1&x\gt0\\ \ln(-x)+C_2&x\lt0\end{cases}$$
(c) $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}=x^n$ ⇒ $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\ge0$ 이면 어디서나, 음수 $n$ 이면 0 을 포함하지 않는 구간에서).
■Antidifferentiation Formulas (역도함수 공식)
미분 공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 된다. 일반 역도함수는 아래 “특수 역도함수”에 $+C$.
| 함수 | 특수 역도함수 | 함수 | 특수 역도함수 |
|---|---|---|---|
| $cf(x)$ | $cF(x)$ | $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $f(x)+g(x)$ | $F(x)+G(x)$ | $\sec^2x$ | $\tan x$ |
| $x^n\ (n\ne-1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\sec x\tan x$ | $\sec x$ |
| $\dfrac1x$ | $\ln|x|$ | $\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ | $\sin^{-1}x$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\dfrac1{1+x^2}$ | $\tan^{-1}x$ |
| $b^x$ | $\dfrac{b^x}{\ln b}$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\sinh x$ | $\cosh x$ |
3장 도함수 표에서 바로 읽을 수 있는 것도 외워 둘 것: $\csc^2x\to-\cot x$, $\csc x\cot x\to-\csc x$. (∫ 기호는 5.4에서 “부정적분”으로 도입된다.)
예제 2 · $g'(x)=4\sin x+\dfrac{2x^5-\sqrt x}{x}$ 일 때 $g$ 를 구하시오.
먼저 식을 정리한다: $g'(x)=4\sin x+2x^4-x^{-1/2}$.
합·상수배 규칙과 거듭제곱 공식으로 항마다 역도함수를 구하면
$g(x)=-4\cos x+\dfrac25x^5-2\sqrt x+C$.
$x^{-1/2}$ 의 역도함수는 $\dfrac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt x$. 검산: 미분해서 원래 식이 나오는지 본다.
도함수가 들어 있는 방정식. 역도함수를 구하면 일반해(general solution)에 임의 상수가 생기고, 초기조건(initial condition)으로 상수를 정해 특수해를 얻는다. $n$계 도함수를 주면 상수가 $n$개 → 조건도 $n$개 필요.
예제 3 · $f'(x)=e^x+\dfrac{20}{1+x^2}$, $f(0)=-2$ 일 때 $f(x)$ 는?
일반해: $f(x)=e^x+20\tan^{-1}x+C$. $f(0)=1+0+C=-2$ ⇒ $C=-3$.
$$f(x)=e^x+20\tan^{-1}x-3$$
$f'>0$ 이므로 $f$ 는 항상 증가. $f'$ 가 극값을 갖는 곳에서 $f$ 는 변곡점을 가진다 — 그래프로 확인하는 검산.
예제 4 · $f''(x)=12x^2+6x-4$, $f(0)=4$, $f(1)=1$ 일 때 $f$ 는?
한 번 역도함수: $f'(x)=4x^3+3x^2-4x+C$. 한 번 더: $f(x)=x^4+x^3-2x^2+Cx+D$.
$f(0)=D=4$. $f(1)=1+1-2+C+4=1$ ⇒ $C=-3$.
$$f(x)=x^4+x^3-2x^2-3x+4$$
■Graphing Antiderivatives (역도함수 그래프)
$F'=f$ 이므로 $f$ 의 그래프가 $F$ 의 기울기를 알려 준다. 시작점($F(a)$ 값)만 주어지면 연필이 따라가는 방향이 $f$ 로 정해진다.
| $f$ 의 특징 | $F$ 의 특징 |
|---|---|
| $f\gt0$ | $F$ 증가 |
| $f\lt0$ | $F$ 감소 |
| $f=0$ (부호 $+\to-$) | 수평접선, $F$ 의 국소최대 |
| $f=0$ (부호 $-\to+$) | 수평접선, $F$ 의 국소최소 |
| $f$ 가 증가 ($F''=f'\gt0$) | $F$ 위로 볼록(CU) |
| $f$ 가 극대·극소 ($f'$ 부호 변화) | $F$ 의 변곡점 |
| $x\to\infty$ 에서 $f\to0$ | $F$ 의 그래프가 점점 평평해진다 |
예제 5 (연습) · $f(x)=x^2-4$ 일 때, $F'=f$ 이고 $F(0)=0$ 인 $F$ 의 개형을 설명하시오.
$f\gt0$ ($|x|\gt2$), $f\lt0$ ($|x|\lt2$) ⇒ $F$ 는 $x\lt-2$ 에서 증가, $-2\lt x\lt2$ 에서 감소, $x\gt2$ 에서 증가. $x=-2$ 에서 국소최대, $x=2$ 에서 국소최소.
$F''=f'=2x$ 가 $x=0$ 에서 $-\to+$ ⇒ $x=0$ 이 변곡점, 시작점 $F(0)=0$. 실제로 $F(x)=\tfrac13x^3-4x$.
■Linear Motion (직선 운동)
위치 $s(t)$, 속도 $v(t)=s'(t)$, 가속도 $a(t)=v'(t)$. 거꾸로 $v$ 는 $a$ 의 역도함수, $s$ 는 $v$ 의 역도함수. 가속도와 초기값 $v(0),s(0)$ 를 알면 두 번 역도함수를 구해 $s(t)$ 를 얻는다.
예제 6 · 직선 위를 움직이는 입자의 가속도가 $a(t)=6t+4$, $v(0)=-6$ cm/s, $s(0)=9$ cm 이다. $s(t)$ 는?
$v(t)=3t^2+4t+C$, $v(0)=C=-6$ ⇒ $v(t)=3t^2+4t-6$.
$s(t)=t^3+2t^2-6t+D$, $s(0)=D=9$ ⇒ $s(t)=t^3+2t^2-6t+9$.
지표 근처에서 아래쪽 가속도는 거의 일정: $g\approx9.8\ \text{m/s}^2$ ($32\ \text{ft/s}^2$). 위쪽을 양의 방향으로 잡으면 $a(t)=-9.8$. 따라서
예제 7 · 높이 130 m 의 절벽 끝에서 공을 위로 15 m/s 로 던졌다. $t$ 초 후의 높이, 최고점에 이르는 시각, 땅에 닿는 시각을 구하시오.
$a(t)=-9.8$, $v(0)=15$ ⇒ $v(t)=-9.8t+15$. $s(0)=130$ ⇒ $s(t)=-4.9t^2+15t+130$.
최고점: $v(t)=0$ ⇒ $t=\dfrac{15}{9.8}\approx1.53$ s (이때 높이 $\approx141.5$ m).
착지: $s(t)=0$ ⇒ $4.9t^2-15t-130=0$ ⇒ $t=\dfrac{15\pm\sqrt{2773}}{9.8}$. 음수 해는 버리고 $t=\dfrac{15+\sqrt{2773}}{9.8}\approx6.9$ s.
- $+C$ 를 빼먹지 않는다. 초기조건이 주어지면 $C$ 를 반드시 결정한다.
- $\dfrac1x$ 의 역도함수는 $\ln x$ 가 아니라 $\ln|x|$ (정의역 $x\ne0$, 구간마다 상수가 다를 수 있다).
- $x^n$ 공식은 $n=-1$ 만 제외. $x^{-1}\to\ln|x|$.
- 곱·몫의 역도함수는 공식이 없다: $(fg)$ 의 역도함수 $\ne FG$. 식을 먼저 항별로 전개·정리한 뒤 공식에 넣는다 (예제 2).
- 2계 도함수가 주어지면 상수가 두 개. 조건 두 개를 모두 쓴다.
- 모든 역도함수 답은 미분해서 검산한다.
🧪 Chapter 4 연습문제 (4.6 – 4.9) 풀고 나서 정답 확인 → 채점
교재 연습문제와 같은 유형으로 직접 만든 문제입니다. 먼저 종이에 풀고 → “정답·풀이 보기” → 채점(✔/✘). ✘ 표시한 문제는 “복습 문제만 보기”로 다시 모아 볼 수 있어요.
▸4.6 기술과 미분으로 그래프
$f''(x)=6x-12$ ⇒ CD: $(-\infty,2)$, CU: $(2,\infty)$. 변곡점 $(2,\,3)$.
$f'(x)=\dfrac2{x^3}$ ⇒ $(-\infty,0)$ 에서 감소, $(0,\infty)$ 에서 증가, 극값 없음.
$f''(x)=-\dfrac6{x^4}\lt0$ ⇒ 두 구간 모두 CD, 변곡점 없음.
$f'(x)=(1-x)e^{-x}$ ⇒ $(-\infty,1)$ 증가, $(1,\infty)$ 감소 ⇒ 절대최댓값 $f(1)=\dfrac1e$.
$f''(x)=(x-2)e^{-x}$ ⇒ $x=2$ 에서 부호 변화 ⇒ 변곡점 $\left(2,\dfrac2{e^2}\right)$ (CD: $x\lt2$, CU: $x\gt2$).
$f''=-(\sin x+\cos x)=0$ ⇒ $x=\dfrac{3\pi}4,\dfrac{7\pi}4$ (부호 변화). 변곡점 $(\tfrac{3\pi}4,0)$, $(\tfrac{7\pi}4,0)$. CD: $(0,\tfrac{3\pi}4)$, $(\tfrac{7\pi}4,2\pi)$ / CU: $(\tfrac{3\pi}4,\tfrac{7\pi}4)$.
그때 $x=\mp\sqrt{-c/3}$ 에서 극대(왼쪽)·극소(오른쪽). $c\ge0$ 이면 $f_c'\ge0$ ⇒ 증가함수, 극값 없음.
전이값 $c=0$ (모양이 바뀌는 경계).
$f'(x)=-\dfrac{8x}{(x^2-4)^2}$ ⇒ 증가: $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$ / 감소: $(0,2)$, $(2,\infty)$. 극대 $f(0)=0$.
$f''(x)=\dfrac{24x^2+32}{(x^2-4)^3}$ ⇒ $|x|\gt2$ 에서 CU, $|x|\lt2$ 에서 CD. 변곡점 없음.
▸4.7 최적화 문제
답: 10, 10 (곱 100).
$A(0)=A(120)=0$ 이므로 최대. 수직 60 m, 평행 120 m, 넓이 7200 m².
$V(2)=2\cdot8^2=128$ ⇒ 최대 부피 128 cm³ ($x=2$ cm).
$A'=2x-\dfrac{432}{x^2}=0$ ⇒ $x^3=216$ ⇒ $x=6$. $x\lt6$ 에서 $A'\lt0$, $x\gt6$ 에서 $A'\gt0$ ⇒ 최소.
답: 밑변 6 cm, 높이 3 cm (겉넓이 108 cm²).
$x=0$: $d^2=9$, $x^2=\tfrac52$: $d^2=\tfrac{25}4-\tfrac{25}2+9=\tfrac{11}4$ ⇒ 더 작다.
가장 가까운 점 $\left(\pm\dfrac{\sqrt{10}}2,\ \dfrac52\right)$, 거리 $\dfrac{\sqrt{11}}2\approx1.66$.
$A'=24-6x^2=0$ ⇒ $x=2$. $A(0)=A(\sqrt{12})=0$ ⇒ 최대 $A(2)=2\cdot2\cdot8=$ 32 (가로 4, 세로 8).
가격 $p(80)=60$, 이윤 $P(80)=6400-3200-500=$ 2700. (한계수익 $R'=100-x$ = 한계비용 $C'=20$ ⇒ $x=80$)
$T'=\dfrac x{4\sqrt{x^2+4}}-\dfrac15=0$ ⇒ $5x=4\sqrt{x^2+4}$ ⇒ $25x^2=16x^2+64$ ⇒ $x=\dfrac83$.
끝점 비교: $T(0)=1.5$, $T(5)=\dfrac{\sqrt{29}}4\approx1.35$, $T\!\left(\dfrac83\right)=\dfrac{13}{10}=1.3$ ⇒ $x=\tfrac83\approx2.67$ km, 1.3시간.
$A'=4\pi r-\dfrac{256\pi}{r^2}=0$ ⇒ $r^3=64$ ⇒ $r=4$, $h=8=2r$. 최소 겉넓이 $A(4)=32\pi+64\pi=96\pi$.
(일반 결과: $h=2r$)
▸4.8 뉴턴의 방법
$x_2=\dfrac12\left(3+\dfrac{10}3\right)=\dfrac{19}6\approx3.1667$, $x_3=\dfrac12\left(\dfrac{19}6+\dfrac{60}{19}\right)=\dfrac{721}{228}\approx3.16228$ ($\sqrt{10}=3.162277\dots$).
▸4.9 역도함수
$F(x)=\dfrac{x^2}2+2x+\ln x+C$ ($x\gt0$, 일반적으로 $\ln|x|$).
$f(x)=3e^x-2\tan^{-1}x+2$.
$f(x)=x^3+x^2+x+1$.
$v=0$ ⇒ $t=1,\ 3$. $s(1)=4$, $s(3)=0$.
착지: $s=0$ ⇒ $t=\dfrac{20}{4.9}\approx4.08$ s (올라간 시간의 두 배).
$F''=2x$ 가 $x=0$ 에서 부호 변화 ⇒ 변곡점 $(0,0)$.
▸⭕❌ OX 문제 · Chapter 4 (4.6 – 4.9)
O/X 를 누르면 바로 채점되고 풀이가 열립니다.
X. $f''$ 의 부호 변화가 필요하다. 반례 $f(x)=x^4$, $f''(0)=0$ 이지만 $f''\ge0$ 이라 변곡점이 아니다.
O. 4.6 예제 1처럼 $f$ 의 큰 창에서는 숨은 극값(0 근처)이 $f'$ 그래프의 부호 변화로 드러난다.
X. 닫힌구간법은 끝점도 함께 비교한다. 끝점에서 최대·최소가 될 수 있다.
O. $d\ge0$ 이고 제곱은 증가함수라 최소점이 같다. 계산이 쉬워서 $d^2$ 을 쓴다.
O. $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$ 의 분모가 0. 접선이 수평이어서 $x$축과 만나지 않는다.
X. 반례 $f(x)=x^3-2x+2$, $x_1=0$ 은 $0,1,0,1,\dots$ 로 진동한다.
O. 도함수가 같은 두 함수는 구간에서 상수만큼 차이 난다 (평균값 정리의 따름정리).
X. $x\lt0$ 에서는 $\ln x$ 가 정의되지 않는다. $\ln|x|$ 이고, 구간 $(-\infty,0)$, $(0,\infty)$ 마다 상수가 다를 수 있다.
X. $s(t)$ 는 $v$ 의 역도함수이므로 상수 $C$ 가 남는다. 초기 위치 $s(0)$ 가 있어야 정해진다.
5Integrals (5.1 – 5.3)
5.1 The Area and Distance Problems 교재 p.372–384
핵심 아이디어: 곡선 아래 넓이와 변하는 속도로 간 거리는 같은 모양의 극한으로 풀린다. 접선 문제에서 “할선의 극한”을 썼듯이, 넓이는 “직사각형들의 합의 극한”으로 정의한다.
■The Area Problem (직사각형으로 넓이 근사하기)
연속함수 $f\ (f\ge0)$ 에 대해 $S=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\}$ (곡선 $y=f(x)$, 수직선 $x=a$, $x=b$, $x$축으로 둘러싸인 영역)의 넓이를 구하라. 변이 직선인 도형은 직사각형·삼각형·다각형으로 정의되지만, 곡선 변의 넓이는 정의부터 해야 한다.
예제 1 · 직사각형으로 $y=x^2$ 아래, $0\le x\le1$ 의 넓이를 추정하시오.
$[0,1]$ 을 폭 $\tfrac14$ 의 네 구간으로 나눈다. $f(x)=x^2$ 은 증가함수이다.
오른쪽 끝점(높이가 구간의 최댓값 ⇒ 곡선 위로 삐져나옴):
$R_4=\dfrac14\left[\left(\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac34\right)^2+1^2\right]=\dfrac{15}{32}=0.46875$
왼쪽 끝점(높이가 구간의 최솟값 ⇒ 곡선 아래):
$L_4=\dfrac14\left[0^2+\left(\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac34\right)^2\right]=\dfrac{7}{32}=0.21875$
그러므로 $0.21875\lt A\lt0.46875$. 8개로 나누면 $0.2734375\lt A\lt0.3984375$. $n$ 이 커질수록 범위가 좁아진다.
| $n$ | $L_n$ | $R_n$ |
|---|---|---|
| 10 | 0.2850000 | 0.3850000 |
| 20 | 0.3087500 | 0.3587500 |
| 30 | 0.3168519 | 0.3501852 |
| 50 | 0.3234000 | 0.3434000 |
| 100 | 0.3283500 | 0.3383500 |
| 1000 | 0.3328335 | 0.3338335 |
$A$ 는 $\tfrac13$ 에 가까워지는 것처럼 보인다.
- $f$ 증가: $R_n$ = 상합(과대), $L_n$ = 하합(과소). $f$ 감소: 반대.
- $R_n$, $L_n$ 이 넓이를 위·아래에서 낀다 ⇒ 넓이는 둘 사이에 있고, 평균을 취하면 좋은 근삿값이 된다 (예제 1: $n=1000$ 에서 $\approx0.3333335$).
예제 2 · 예제 1의 영역에서 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n=\tfrac13$ 임을 보이시오.
폭 $\tfrac1n$, 높이는 $x=\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac nn$ 에서의 $x^2$:
$R_n=\dfrac1n\left[\left(\tfrac1n\right)^2+\left(\tfrac2n\right)^2+\cdots+\left(\tfrac nn\right)^2\right]=\dfrac1{n^3}\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)$.
공식 $\ \displaystyle\sum_{i=1}^n i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ $ 를 쓰면
$R_n=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\dfrac16\left(1+\tfrac1n\right)\left(2+\tfrac1n\right)\ \longrightarrow\ \dfrac16\cdot1\cdot2=\dfrac13$.
$L_n$ 의 극한도 $\tfrac13$ 이다. 따라서 넓이 $A=\tfrac13$.
■정의: 넓이 = 직사각형 합의 극한
$[a,b]$ 를 폭 $\Delta x=\dfrac{b-a}n$ 인 $n$ 개로 나눈다. $x_0=a$, $x_i=a+i\,\Delta x$, $x_n=b$. 연속함수 $f\ (\ge0)$ 아래 영역의 넓이 $A$ 는
극한은 항상 존재한다. 왼쪽 끝점을 써도 같은 값, 더 일반적으로 구간 $[x_{i-1},x_i]$ 안의 표본점(sample point) $x_i^*$ 를 아무렇게나 골라도 같은 값:
- 하합·상합(lower/upper sums): 표본점을 각 구간에서 $f$ 가 최솟값·최댓값을 갖는 점으로 잡은 합 (극값 정리로 존재). 동치인 정의: $A$ 는 모든 하합보다 크고 모든 상합보다 작은 유일한 수.
- 시그마 기호: $\displaystyle\sum_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n$ (아래: 시작 $i=m$, 위: 끝 $i=n$). 자주 쓰는 합: $\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$.
예제 3 · $f(x)=e^{-x}$, $0\le x\le2$ 아래 넓이 $A$ 를 (a) 오른쪽 끝점을 써서 극한으로 나타내고 (b) 중점으로 $n=4$, $n=10$ 일 때 추정하시오.
(a) $\Delta x=\dfrac2n$, $x_i=\dfrac{2i}n$ 이므로
$A=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n=\lim_{n\to\infty}\frac2n\left(e^{-2/n}+e^{-4/n}+\cdots+e^{-2n/n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac2n\sum_{i=1}^ne^{-2i/n}$
(손으로 극한을 계산하기는 어렵다. 5.3의 방법이 훨씬 쉽다.)
(b) 중점 합 $M_n$ : 표본점을 각 구간의 중점으로. $n=4$ 이면 $\Delta x=0.5$, 중점 $0.25,\,0.75,\,1.25,\,1.75$:
$M_4=0.5\left(e^{-0.25}+e^{-0.75}+e^{-1.25}+e^{-1.75}\right)\approx0.8557$.
$n=10$ 이면 $\Delta x=0.2$, 중점 $0.1,0.3,\dots,1.9$ : $M_{10}\approx0.8632$.
참값은 $1-e^{-2}\approx0.8647$ (5.3 이후 계산). $n$ 이 커질수록 더 정확하다.
■The Distance Problem (거리 문제)
속도 $v(t)$ 를 매 순간 알 때 일정 시간 동안 이동한 거리를 구하라. 속도가 일정하면 $\text{거리}=\text{속도}\times\text{시간}$. 속도가 변하면 시간 간격을 잘게 나눠 각 구간에서 속도를 거의 일정하다고 본다.
예제 4 · 속도계 기록(30초, 5초 간격)이 m/s 로 8, 9, 10, 12, 13, 12, 11 일 때 이동 거리를 추정하시오.
| 시간 (s) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 속도 (m/s) | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 12 | 11 |
구간 시작의 속도를 쓰면: $(8+9+10+12+13+12)\times5=320$ m (= $L_6$).
구간 끝의 속도를 쓰면: $(9+10+12+13+12+11)\times5=335$ m (= $R_6$).
높이 = 속도, 폭 = 시간이므로 직사각형의 넓이가 곧 거리다. 측정을 더 자주 할수록 직사각형 합이 속도 곡선 아래 넓이에 가까워진다.
$v=f(t)\ge0$, $a\le t\le b$, $\Delta t=\dfrac{b-a}n$ 이면 이동 거리는
이는 넓이의 식과 같은 모양이다 ⇒ 이동 거리 = 속도 그래프 아래 넓이 (5.4에서 확인). 일(work), 심박출량 같은 양도 곡선 아래 넓이로 해석된다 (6장, 8장).
- $R_n$ 은 오른쪽 끝점의 높이, $L_n$ 은 왼쪽 끝점의 높이. $R_n$ 이 항상 더 크다고 외우지 말고 증가/감소 여부로 판단한다.
- 합의 개수는 $n$, 폭은 $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$. $n=1$ 부터 $i=1\dots n$ (오른쪽), $i=0\dots n-1$ (왼쪽) 인덱스 주의.
- 극한을 구할 때 $\sum i^2$ 공식을 쓰고, $\tfrac1n\to0$ 인 항을 정리해 마무리한다.
- 시간 간격이 같지 않은 표 문제는 $\sum v_i\,\Delta t_i$ 로 계산한다 (각 구간의 폭을 따로 곱한다).
- 거리 문제는 속도가 $0$ 이상일 때 ‘곡선 아래 넓이 = 이동 거리’이다.
5.2 The Definite Integral 교재 p.384–398
핵심 아이디어: 5.1의 넓이·거리 극한을 $f$ 가 음수여도 되는 일반 함수로 넓히고 이름을 붙인 것이 정적분이다. 정의 → 극한으로 계산 → 중점법 → 성질 순서로 정리한다.
■The Definite Integral (정적분)
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 정의되어 있다. 구간을 폭 $\Delta x=\dfrac{b-a}n$ 인 $n$ 개로 나누고 분점 $x_0=a,\dots,x_n=b$, 각 소구간 $[x_{i-1},x_i]$ 의 표본점 $x_i^*$ 를 고르면
극한이 존재하고 표본점 선택과 무관하게 같은 값이면 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 적분가능(integrable). 합 $\sum f(x_i^*)\Delta x$ 를 리만 합(Riemann sum)이라 한다.
- 엄밀한 뜻: 모든 $\varepsilon\gt0$ 에 대해 정수 $N$ 이 있어서 $n\gt N$ 이면 표본점이 무엇이든 $\left|\displaystyle\int_a^bf\,dx-\sum f(x_i^*)\Delta x\right|\lt\varepsilon$.
- 기호: $\int$ 는 합(Sum)의 S를 늘인 것(라이프니츠). $f(x)$ = 피적분함수(integrand), $a$ = 아래끝, $b$ = 위끝(적분 한계). 지금은 $dx$ 단독에 뜻이 없고 $\int_a^bf(x)\,dx$ 전체가 하나의 기호.
- 정적분은 숫자: $x$ 에 의존하지 않으므로 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(t)dt=\int_a^bf(r)dr$.
- 순넓이: $f\ge0$ 이면 곡선 아래 넓이. 부호가 섞이면 $\int_a^bf\,dx=A_1-A_2$ ($A_1$ = $x$축 위쪽 넓이, $A_2$ = 아래쪽 넓이).
- 폭이 달라도 가능: 소구간 폭이 다르면 $\max\Delta x_i\to0$ 으로 극한을 잡고 $\sum f(x_i^*)\Delta x_i$.
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이거나 불연속이 유한 개의 점프뿐이면 적분가능.
반례(적분불가능): 유리수에서 0·무리수에서 1인 함수, $[0,1]$ 에서 $f(0)=0,\ f(x)=1/x$ (값이 한없이 커짐).
극한식 ↔ 적분식: $\ \lim\sum\to\int,\quad x_i^*\to x,\quad \Delta x\to dx$ ($[a,b]$ 는 그대로).
예제 1 · $f(x)=x^3-6x$, $0\le x\le3$, $n=6$ 의 오른쪽 끝점 리만 합 $R_6$ 은?
$\Delta x=\tfrac12$, 오른쪽 끝점 $0.5,1,1.5,2,2.5,3$.
$R_6=\tfrac12\,[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)+f(2.5)+f(3)]$ $=\tfrac12(-2.875-5-5.625-4+0.625+9)=-3.9375$.
$f$ 가 음수인 구간이 섞여서 합은 (파랑 − 금색)이다. 직사각형 넓이의 합이 아님.
예제 2 · $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(x_i^3+x_i\sin x_i\right)\Delta x$ ($[0,\pi]$) 를 적분으로 나타내시오.
정리 (4)와 비교: $f(x)=x^3+x\sin x$, $a=0$, $b=\pi$.
$$=\int_0^\pi\left(x^3+x\sin x\right)dx$$
■Evaluating Definite Integrals (정적분을 극한으로 계산)
- $\Delta x=\tfrac{b-a}n$, $x_i=a+i\Delta x$ 를 쓴다.
- $\sum f(x_i)\Delta x$ 를 쓰고, $i$ 와 무관한 것($n$ 으로 된 식)을 $\Sigma$ 밖으로 뺀다.
- $\sum i^k$ 공식으로 $n$ 에 대한 식을 만든다.
- $n\to\infty$ ($\tfrac1n\to0$).
예제 3 · 정리 (4)로 $\displaystyle\int_0^3(x^3-6x)\,dx$ 를 계산하시오.
$a=0,b=3$ ⇒ $\Delta x=\tfrac3n$, $x_i=\tfrac{3i}n$.
$\displaystyle\int_0^3(x^3-6x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf\!\left(\tfrac{3i}n\right)\tfrac3n=\lim_{n\to\infty}\tfrac3n\sum_{i=1}^n\left[\tfrac{27}{n^3}i^3-\tfrac{18}{n}i\right]$ ($\tfrac3n$ 은 $i$ 와 무관 ⇒ 밖으로)
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[\tfrac{81}{n^4}\sum i^3-\tfrac{54}{n^2}\sum i\right]=\lim_{n\to\infty}\left[\tfrac{81}{n^4}\left(\tfrac{n(n+1)}2\right)^2-\tfrac{54}{n^2}\cdot\tfrac{n(n+1)}2\right]$
$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[\tfrac{81}4\left(1+\tfrac1n\right)^2-27\left(1+\tfrac1n\right)\right]=\tfrac{81}4-27=-\tfrac{27}4=-6.75$
이 값은 $A_1-A_2$ ($A_1=\tfrac94$, $A_2=9$) 이다. 아래 표: $n$ 이 커지면 $R_n\to-6.75$.
| $n$ | 40 | 100 | 500 | 1000 | 5000 |
|---|---|---|---|---|---|
| $R_n$ | −6.3998 | −6.6130 | −6.7229 | −6.7365 | −6.7473 |
예제 4 · $\displaystyle\int_1^3e^x\,dx$ 를 합의 극한으로 쓰고 값을 구하시오.
$\Delta x=\tfrac2n$, $x_i=1+\tfrac{2i}n$.
$\displaystyle\int_1^3e^xdx=\lim_{n\to\infty}\tfrac2n\sum_{i=1}^ne^{1+2i/n}=e^3-e\approx17.367$ (등비급수의 합과 로피탈 법칙, CAS 사용).
$e^x\gt0$ 이므로 이 값은 곡선 아래 넓이이다.
예제 5 · 넓이로 해석해 계산: (a) $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ (b) $\displaystyle\int_0^3(x-1)\,dx$
(a) $y=\sqrt{1-x^2}$ ⇔ $x^2+y^2=1,\ y\ge0$ : 단위원의 1/4. $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\tfrac14\pi(1)^2=\dfrac\pi4$.
(b) 직선 $y=x-1$ 은 $x=1$ 에서 0. $A_1$ (밑변 2, 높이 2) $=2$, $A_2$ (밑변 1, 높이 1) $=\tfrac12$. $\displaystyle\int_0^3(x-1)dx=A_1-A_2=\tfrac32$.
■The Midpoint Rule (중점법)
오른쪽 끝점은 극한 계산에 편하고, 근삿값을 구할 땐 보통 중점이 더 정확하다. (오차 추정은 7.7)
예제 6 · 중점법 $n=5$ 로 $\displaystyle\int_1^2\dfrac1x\,dx$ 를 근사하시오.
$\Delta x=\tfrac15$, 끝점 $1,1.2,\dots,2.0$ ⇒ 중점 $1.1,1.3,1.5,1.7,1.9$.
$\displaystyle\int_1^2\frac1xdx\approx\tfrac15\left(\tfrac1{1.1}+\tfrac1{1.3}+\tfrac1{1.5}+\tfrac1{1.7}+\tfrac1{1.9}\right)\approx0.691908$ (참값 $\ln2\approx0.693147$)
🔬 리만 합 실험 — 함수·방법·$n$ 을 바꿔 보기
파랑 = $x$축 위(+), 빨강 = 아래(−). 증가함수에서 $R_n$ 은 과대, $L_n$ 은 과소로 참값을 끼고, 중점법은 같은 $n$ 에서 보통 가장 가깝다. $x^3-6x$, $n=40$, 오른쪽/중점으로 바꿔 보면 $-6.3998$ 대 $-6.7563$ (참값 $-6.75$).
■Properties of the Definite Integral (정적분의 성질)
$a\gt b$ 에서도 정의된다. 뒤집으면 $\Delta x$ 의 부호가 바뀐다.
- $\displaystyle\int_a^bc\,dx=c(b-a)$ (상수함수 = 직사각형 넓이)
- $\displaystyle\int_a^b[f+g]\,dx=\int_a^bf\,dx+\int_a^bg\,dx$
- $\displaystyle\int_a^bcf(x)\,dx=c\int_a^bf(x)\,dx$ (상수만 밖으로)
- $\displaystyle\int_a^b[f-g]\,dx=\int_a^bf\,dx-\int_a^bg\,dx$
- $\displaystyle\int_a^cf\,dx+\int_c^bf\,dx=\int_a^bf\,dx$ (구간 쪼개기)
- $f(x)\ge0$ ⇒ $\displaystyle\int_a^bf\,dx\ge0$
- $f(x)\ge g(x)$ ⇒ $\displaystyle\int_a^bf\,dx\ge\int_a^bg\,dx$
- $m\le f(x)\le M$ ⇒ $\displaystyle m(b-a)\le\int_a^bf\,dx\le M(b-a)$ (거친 추정. $f$ 연속이면 $m,M$ = 구간의 최솟값, 최댓값)
예제 7 · $\displaystyle\int_0^1(4+3x^2)\,dx$ (단, $\int_0^1x^2dx=\tfrac13$)
$\displaystyle\int_0^14\,dx+3\int_0^1x^2dx=4(1-0)+3\cdot\tfrac13=5$. (성질 2, 3, 1)
예제 8 · $\displaystyle\int_0^{10}f=17$, $\displaystyle\int_0^8f=12$ 일 때 $\displaystyle\int_8^{10}f$ 는?
성질 5: $\displaystyle\int_8^{10}f=\int_0^{10}f-\int_0^8f=17-12=5$.
예제 9 · 성질 8로 $\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ 의 값의 범위를 추정하시오.
$f(x)=e^{-x^2}$ 은 $[0,1]$ 에서 감소 ⇒ $M=f(0)=1$, $m=f(1)=e^{-1}\approx0.3679$.
$e^{-1}(1-0)\le\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\le1\cdot(1-0)$ ⇒ $0.367\le\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\le1$. (참값 $\approx0.7468$)
- 정적분 값이 음수라는 말은 “넓이가 음수”가 아니라 x축 아래쪽 넓이가 더 크다는 뜻.
- 성질 3은 상수만 밖으로: $\int x f(x)\,dx$ 에서 $x$ 를 뺄 수 없다. 곱의 적분 $\ne$ 적분의 곱.
- 성질 6–8은 $a\le b$ 에서만. 위끝이 아래끝보다 작으면 먼저 부호를 뒤집어 정리.
- 극한 → 적분 변환에서 구간 $[a,b]$ 를 놓치지 말 것 ($x_i$ 의 범위에서 읽는다).
- 정리 (4)로 계산할 땐 $\Sigma$ 안의 상수 $\tfrac{b-a}n$ 을 밖으로 빼고, 합 공식 뒤 $\tfrac1n\to0$ 으로 마무리.
- 5.3 예고: $A(x)=\int_1^x(2t+1)\,dt=x^2+x-2$ 이므로 $A'(x)=2x+1$. 넓이 함수를 미분하면 원래 함수 → 미적분학의 기본정리.
5.3 The Fundamental Theorem of Calculus 교재 p.399–408
핵심 아이디어: 미분과 적분은 서로 거꾸로 가는 과정이다. 1부(FTC1)는 “넓이 함수를 미분하면 원래 함수”, 2부(FTC2)는 “정적분은 역도함수의 끝값 차이”. 5.2에서 리만 합의 극한으로 힘들게 구하던 값이 한 줄로 끝난다.
■The Fundamental Theorem, Part 1 (넓이 함수의 미분)
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속일 때 윗끝이 변수인 정적분
은 $x$ 만의 함수이다. $f\ge0$ 이면 $g(x)$ 는 $a$ 부터 $x$ 까지의 “지금까지의 넓이”. (적분 변수는 $t$, 윗끝은 $x$.)
예제 A (직접 만든 예) · $f(t)=1-t$, $g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$ 를 구하고 $g'$ 를 $f$ 와 비교하시오.
$g(x)=\displaystyle\int_0^x(1-t)\,dt=x-\dfrac{x^2}2$ (직사각형 − 삼각형으로도 계산된다). $g(0)=0,\ g(1)=\tfrac12,\ g(2)=0$.
$g'(x)=1-x=f(x)$ ✓. $f\gt0$ 인 $x\lt1$ 에서 $g$ 는 증가, $f\lt0$ 인 $x\gt1$ 에서 감소 ⇒ $x=1$ 에서 최대.
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $g(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하고
말로: 정적분을 윗끝으로 미분하면 피적분함수를 윗끝에서 계산한 값. $g$ 는 $f$ 의 역도함수이다.
- 직관: $g(x+h)-g(x)=\displaystyle\int_x^{x+h}f$ 는 폭 $h$, 높이 $\approx f(x)$ 인 띠의 넓이이므로 $\dfrac{g(x+h)-g(x)}h\approx f(x)$.
- 증명의 골격 ($h\gt0$): $[x,x+h]$ 에서 $f$ 의 최솟값 $m=f(u)$, 최댓값 $M=f(v)$ (극값 정리). 성질 8로 $mh\le\int_x^{x+h}f\le Mh$ ⇒ $f(u)\le\dfrac{g(x+h)-g(x)}h\le f(v)$. $h\to0$ 이면 $u,v\to x$ 이고 $f$ 가 연속이므로 조임 정리로 $g'(x)=f(x)$. 증명 10선 참고.
예제 2 · $g(x)=\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+t^2}\,dt$ 의 도함수는?
$\sqrt{1+t^2}$ 는 연속이므로 FTC1: $g'(x)=\sqrt{1+x^2}$.
예제 3 · 프레넬 함수 $S(x)=\displaystyle\int_0^x\sin\!\left(\dfrac{t^2}2\right)dt$ 의 도함수는? 이런 정의가 왜 쓸모 있는가?
$S'(x)=\sin\!\left(\dfrac{x^2}2\right)$. $\sin(t^2/2)$ 의 역도함수는 초등함수로 쓸 수 없지만, 적분으로 정의된 함수의 미분은 FTC1로 바로 알 수 있고, 그래서 증감·극값 같은 미분 분석을 그대로 할 수 있다 (물리·화학·통계에 이런 함수가 많다. 프레넬 함수는 빛의 회절 이론에 나오고 고속도로 설계에도 쓰인다).
윗끝·아랫끝이 $x$ 의 함수 $u(x)$, $v(x)$ 이면 FTC1에 연쇄법칙을 붙인다.
예제 4 · $\dfrac d{dx}\displaystyle\int_1^{x^4}\sec t\,dt$ 를 구하시오.
$u=x^4$ 로 놓으면 $\dfrac d{dx}\displaystyle\int_1^u\sec t\,dt=\dfrac d{du}\left[\int_1^u\sec t\,dt\right]\dfrac{du}{dx}$ (연쇄법칙) $=\sec u\cdot\dfrac{du}{dx}$ (FTC1).
$$=\sec(x^4)\cdot4x^3$$
■The Fundamental Theorem, Part 2 (정적분의 계산)
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $F'=f$ (곧 $F$ 가 $f$ 의 아무 역도함수)이면
- 왜 맞나: FTC1에서 $g(x)=\int_a^xf$ 가 하나의 역도함수. 다른 역도함수 $F$ 는 $F=g+C$ (4.9, 평균값 정리). $g(a)=\int_a^af=0$ 이므로 $F(b)-F(a)=g(b)-g(a)=g(b)=\int_a^bf$.
- $+C$ 는 필요 없다: 뺄셈에서 사라진다. 가장 간단한 역도함수(예: $e^x$)를 쓰면 된다.
- 신기한 점: 구간 전체의 값으로 정의된 정적분이 두 끝점 $a,b$ 에서의 $F$ 값만으로 정해진다.
- 물리 해석: $v=s'$ 이면 $\displaystyle\int_a^bv(t)\,dt=s(b)-s(a)$ — 속도의 정적분은 위치의 변화(변위).
예제 5 · $\displaystyle\int_1^3e^x\,dx$ 를 구하시오. (5.2 예제 4와 비교)
$F(x)=e^x$ ⇒ $\displaystyle\int_1^3e^x\,dx=\Big[e^x\Big]_1^3=e^3-e$. 5.2에서는 등비급수와 극한으로 계산했던 값이다.
예제 6 · 포물선 $y=x^2$ 아래 $0\le x\le1$ 의 넓이를 구하시오. (5.1 예제 2와 비교)
$F(x)=\tfrac13x^3$ ⇒ $A=\displaystyle\int_0^1x^2dx=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\dfrac13-0=\dfrac13$. $\sum i^2$ 공식과 극한이 필요 없다.
예제 7 · $\displaystyle\int_3^6\dfrac{dx}x$ 를 구하시오.
$\displaystyle\int_3^6\dfrac1x\,dx=\Big[\ln|x|\Big]_3^6=\ln6-\ln3=\ln\dfrac63=\ln2$ ($3\le x\le6$ 이므로 $\ln|x|=\ln x$).
예제 8 · 코사인 곡선 $y=\cos x$ 아래 $0\le x\le b\ (0\le b\le\tfrac\pi2)$ 의 넓이는?
$A=\displaystyle\int_0^b\cos x\,dx=\Big[\sin x\Big]_0^b=\sin b-\sin0=\sin b$. 특히 $b=\tfrac\pi2$ 이면 면적 $=\sin\tfrac\pi2=1$.
1635년 로베르발이 이 넓이를 구했을 땐 매우 어려운 문제였다. 기본정리가 발견된 뒤에는 한 줄이다.
예제 B (직접 만든 예) · 5.2 예제 3 의 $\displaystyle\int_0^3(x^3-6x)\,dx$ 를 FTC2 로 다시 계산하시오.
$F(x)=\dfrac{x^4}4-3x^2$ ⇒ $\displaystyle\Big[\dfrac{x^4}4-3x^2\Big]_0^3=\dfrac{81}4-27=-\dfrac{27}4$. 극한으로 여러 줄 걸렸던 계산과 같은 값이다.
예제 9 · 다음 계산은 무엇이 잘못되었는가? $\displaystyle\int_{-1}^3\dfrac1{x^2}\,dx=\Big[-\dfrac1x\Big]_{-1}^3=-\dfrac13-1=-\dfrac43$
① 피적분함수 $\dfrac1{x^2}\gt0$ 이므로 성질 6에 의해 적분값은 양수여야 하는데 음수가 나왔다 ⇒ 오류.
② 원인: FTC2는 $[a,b]$ 전체에서 연속일 때만 쓴다. $\dfrac1{x^2}$ 은 $x=0\in[-1,3]$ 에서 무한 불연속. (7.8절에서 이 적분은 존재하지 않음을 보게 된다.)
■Differentiation and Integration as Inverse Processes (역과정)
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속일 때
- $g(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ 이면 $g'(x)=f(x)$.
- $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ ($F'=f$).
1부: 적분한 뒤 미분하면 $f$ 가 돌아온다. 2부를 $\displaystyle\int_a^xF'(t)\,dt=F(x)-F(a)$ 로 읽으면: 미분한 뒤 적분하면 $F$ 가 (상수 $F(a)$ 를 빼고) 돌아온다. 그래서 미분과 적분은 서로 역과정이다.
- FTC2는 피적분함수가 구간 전체에서 연속일 때만. 불연속점이 있으면 먼저 확인한다 (예제 9). 절댓값·구간별 함수는 꺾이는 점에서 구간을 쪼개 계산한다 (예: $\int_0^3|x-1|dx=\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx=\tfrac12+2=\tfrac52$).
- FTC1에서 윗끝이 $x$ 가 아니라 $u(x)$ 이면 $u'(x)$ 를 곱한다. 아랫끝이 변수이면 마이너스.
- F(b)−F(a)에서 $F(a)$ 를 빼는 것을 잊거나 부호를 틀리지 않는다. 음수 $a$ 대입 시 괄호.
- $+C$ 를 붙일 필요는 없다 (붙여도 상쇄). 하지만 부정적분 문제(4.9)에서는 $+C$ 가 필요.
- 값이 음수이면 순넓이 $A_1-A_2$. 넓이(양수)를 구하라는 문제는 부호가 바뀌는 점에서 구간을 쪼갠다.
🧪 Chapter 5 연습문제 (5.1 – 5.3) 풀고 나서 정답 확인 → 채점
교재 연습문제와 같은 유형으로 직접 만든 문제입니다. 먼저 종이에 풀고 → “정답·풀이 보기” → 채점(✔/✘). ✘ 표시한 문제는 “복습 문제만 보기”로 다시 모아 볼 수 있어요.
▸5.1 넓이와 거리 문제
실제 넓이 $\tfrac83\approx2.67$ 은 $1.75\lt A\lt3.75$ ($f$ 증가 ⇒ $L_n$ 하합, $R_n$ 상합).
$f$ 가 감소이므로 $R_4$ 는 과소, $L_4$ 는 과대 추정. (참값 $\ln3\approx1.0986$)
▸5.2 정적분
$f$ 가 $[0,2]$ 에서 음수이므로 (위쪽 직사각형 − 아래쪽 직사각형)의 합으로 $\int_0^4f\,dx=\tfrac{16}3$ 의 근삿값.
(b) $|x-2|$ 는 $x=2$ 에서 꺾이는 V 자. 양쪽 삼각형(밑변 2, 높이 2) ⇒ $2+2=4$.
▸5.3 미적분학의 기본정리
(2) $F(x)=\left[-\cos t\right]_{2x}^{x^2}=\cos2x-\cos x^2$ ⇒ $F'(x)=-2\sin2x+2x\sin x^2$. 같은 결과.
$F(9)=18-6=12$, $F(1)=\tfrac23-2=-\tfrac43$ ⇒ $12+\tfrac43=\dfrac{40}3$.
$g(2)=\displaystyle\int_0^2(t^2-4)dt=\dfrac83-8=-\dfrac{16}3$.
▸⭕❌ OX 문제 · Chapter 5 (5.1 – 5.3)
O/X 를 누르면 바로 채점되고 풀이가 열립니다.
O. 증가함수에서는 왼쪽 끝점 높이가 최솟값, 오른쪽 끝점 높이가 최댓값이라 $L_n$ 은 하합, $R_n$ 은 상합.
X. $f$ 의 오목·볼록에 따라 과대·과소가 달라진다 (볼록이면 과소, 오목이면 과대). 항상 작지 않다.
O. 5.1의 거리 문제: 높이 = 속도, 폭 = 시간이므로 직사각형 넓이가 거리.
X. 정적분은 숫자이고 $x$ 는 더미 변수이다. $\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(t)dt$.
X. 불연속이 유한 개의 점프뿐이면 적분가능 (정리 3).
X. $a\gt b$ 이면 $\int_a^bf=-\int_b^af\le0$. 성질 6은 $a\le b$ 에서만 성립.
X. 합·상수배의 규칙만 있고 곱의 규칙은 없다. 반례 $f=g=1$, $[0,2]$: 좌변 2, 우변 4.
O. 구간을 뒤집으면 $\Delta x=\tfrac{b-a}n$ 의 부호가 바뀌어 적분 값의 부호가 바뀐다.
O. FTC1: $g'(x)=f(x)$.
X. $[F(b)+C]-[F(a)+C]$ 에서 $C$ 가 상쇄된다. 가장 간단한 역도함수를 쓰면 된다.
X. $\dfrac1{x^2}$ 은 $x=0$ 에서 불연속이라 FTC2를 쓸 수 없다. 피적분함수가 양수인데 음수가 나온 것이 단서.
X. 연쇄법칙으로 $f(x^2)\cdot2x$.
O. FTC2의 다른 표현: 미분한 뒤 적분하면 상수 $F(a)$ 를 뺀 $F$ 가 돌아온다.
📋 개념 요약 4.6 – 5.3 · 한 장으로 끝내는 핵심 개념
예제·풀이는 빼고 정의 · 정리 · 판정법만 모았습니다. 세부 설명은 각 절 탭에서 확인하세요.
- 절차: 큰 창(끝 행동·점근선, 극한으로 확정) → $f'$ 의 부호 변화(증감·극값) → $f''$ 의 부호 변화(오목·변곡) → 줌인·줌아웃 → 정확값은 미분으로.
- 숨은 극값은 $f'$ 그래프로, 변곡점은 $f''$ 그래프로 찾는다. 한 장의 그래프로 부족하면 여러 창을 합쳐 해석.
- 인수분해된 유리함수: 분모의 영점 ⇒ 수직점근선, 분자의 영점 ⇒ $x$절편 (짝수 중복도는 닿기만, 홀수 중복도는 통과).
- 함수족: 모든 $c$ 에서의 공통 성질 + 전이값 (예: $\dfrac1{x^2+2x+c}$ 의 $c=1$).
- 6단계: 이해 → 그림 → 기호 → $Q$ 를 식으로 → 조건식으로 한 변수 + 정의역 → 절대최대·최소.
- 닫힌구간이면 끝점까지 비교. 열린구간이면 절대극값의 1계 판정법 ($f'$ 가 $+\to-$ ⇒ 절대최대, $-\to+$ ⇒ 절대최소).
- 거리는 $d^2$ 로, 시간은 $\dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$.
- 경제: $R=xp(x)$, $P=R-C$, 이윤 최대에서 $R'=C'$ (한계수익 = 한계비용).
- 결과 몇 가지: 부피 고정 원통 캔 ⇒ $h=2r$, 반지름 $r$ 반원 내접 직사각형 최대 넓이 $r^2$.
- $f(x)=0$ 의 근사: $\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ (접선의 $x$절편).
- $x_n,x_{n+1}$ 이 원하는 소수 자리까지 같으면 멈춘다.
- $f'(x_n)=0$ 이면 정의 불가, $f'(x_1)\approx0$ 이면 먼 곳으로 튄다. 수렴이 보장되지 않는다 (진동 가능).
- $\sqrt a$: $x_{n+1}=\tfrac12\left(x_n+\tfrac a{x_n}\right)$ / $\tfrac1a$: $x_{n+1}=2x_n-ax_n^2$.
- $F'=f$ ⇒ $F$ 는 $f$ 의 역도함수. 일반형은 $F(x)+C$ (도함수가 같은 함수는 상수 차이).
- 공식: $x^n\to\tfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1)$, $\tfrac1x\to\ln|x|$, $e^x$, $b^x\to\tfrac{b^x}{\ln b}$, $\sin\to-\cos$, $\cos\to\sin$, $\sec^2\to\tan$, $\sec\tan\to\sec$, $\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}\to\sin^{-1}$, $\tfrac1{1+x^2}\to\tan^{-1}$, $\cosh\leftrightarrow\sinh$.
- 초기조건으로 상수 결정 ($n$계 ⇒ $n$개). 그래프: $f$ 가 $F$ 의 기울기.
- 운동: $s'=v,\ v'=a$. 중력: $s(t)=-4.9t^2+v_0t+s_0$.
- $\Delta x=\tfrac{b-a}n$, $x_i=a+i\Delta x$. $R_n=\sum f(x_i)\Delta x$, $L_n=\sum f(x_{i-1})\Delta x$, $M_n$ (중점).
- 넓이 정의: $A=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n=\lim L_n=\lim\sum f(x_i^*)\Delta x$ (연속, $f\ge0$).
- $f$ 증가 ⇒ $L_n\le A\le R_n$, 감소 ⇒ 반대. 하합·상합: $A$ 는 그 사이의 유일한 수.
- 합 공식 $\sum i^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6$. 예: $y=x^2$ 아래 $[0,1]$ ⇒ $\tfrac13$.
- 거리 문제: $v\ge0$ 이면 이동 거리 = 속도 그래프 아래 넓이 ($d=\lim\sum f(t_i)\Delta t$).
- 정의: $\displaystyle\int_a^bf\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum f(x_i^*)\Delta x$. 순넓이 $A_1-A_2$. 정적분은 숫자.
- 정리 3: 연속(또는 유한 개의 점프)이면 적분가능. 정리 4: 오른쪽 끝점으로 계산 가능.
- 합 공식 5–11: $\sum1,\sum i,\sum i^2,\sum i^3$ 과 선형성.
- 중점법 $\Delta x\,[f(\bar x_1)+\cdots+f(\bar x_n)]$.
- 성질 1–5 (순서 무관), 6–8 ($a\le b$): $\int_b^a=-\int_a^b$, $\int_a^c+\int_c^b=\int_a^b$, $m(b-a)\le\int\le M(b-a)$.
- FTC1: $f$ 연속, $g(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ ⇒ $g'(x)=f(x)$ (적분한 뒤 미분 = 원래 함수). $g$ 는 $f$ 의 역도함수.
- 연쇄법칙: $\dfrac d{dx}\displaystyle\int_a^{u(x)}f=f(u)\,u'$, 아랫끝이 변수이면 부호 $-$.
- FTC2: $F'=f$ ⇒ $\displaystyle\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a)=\big[F\big]_a^b$. $+C$ 불필요, 가장 간단한 $F$ 사용.
- FTC2의 조건은 구간 전체에서 연속 (예: $\int_{-1}^3x^{-2}dx$ 에는 쓸 수 없다).
- $\int_a^x F'(t)\,dt=F(x)-F(a)$ : 미분과 적분은 역과정.
🧾 증명 10선 식만 딱 · 외우기용
서술형에 나올 만한 유도·증명을 핵심 줄만 남겨 정리했습니다. “식 가리기”를 켜고 줄을 눌러 가며 스스로 재현해 보세요.
- $G$ 를 또 하나의 역도함수라 하자. $H=G-F$ 로 두면 $H'=f-f=0$ on $I$.
- $I$ 의 임의의 $a\lt b$ 에 평균값 정리: $\ H(b)-H(a)=H'(c)(b-a)=0\cdot(b-a)=0$ (어떤 $c\in(a,b)$).
- 따라서 $H(a)=H(b)$. $a,b$ 가 임의이므로 $H\equiv C$ (상수).
- $G(x)=F(x)+C$ ∎
- $(x_n,f(x_n))$ 에서의 접선: $\ y-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n)$.
- $x$절편 $(x_{n+1},0)$ 은 이 직선 위: $\ 0-f(x_n)=f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)$.
- $f'(x_n)\ne0$ 으로 나누면 $\ x_{n+1}-x_n=-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
- $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ ∎ (예: $f=x^2-a$ ⇒ $x_{n+1}=\tfrac12\left(x_n+\tfrac a{x_n}\right)$)
- $h=\dfrac V{\pi r^2}$ 을 대입: $\ A(r)=2\pi r^2+\dfrac{2V}r$, $r\gt0$.
- $A'(r)=4\pi r-\dfrac{2V}{r^2}=0\ \Rightarrow\ r^3=\dfrac V{2\pi}$ (유일한 임계수).
- $r$ 이 작으면 $A'\lt0$, 크면 $A'\gt0$ ⇒ 절대최솟값 (절대극값 1계 판정법).
- $V=2\pi r^3$ 이므로 $\ h=\dfrac V{\pi r^2}=\dfrac{2\pi r^3}{\pi r^2}=2r$ ∎
- $v'=a=-g$ ⇒ $v(t)=-gt+C$, $v(0)=C=v_0$ ⇒ $v(t)=-gt+v_0$.
- $s'=v$ ⇒ $s(t)=-\tfrac12gt^2+v_0t+D$, $s(0)=D=s_0$.
- 최고점: $v=0$ ⇒ $t=\dfrac{v_0}g$.
- $s\!\left(\dfrac{v_0}g\right)=-\dfrac{v_0^2}{2g}+\dfrac{v_0^2}{g}+s_0=s_0+\dfrac{v_0^2}{2g}$ ∎
- $(i+1)^2-i^2=2i+1$ 을 $i=1..n$ 합: $\ (n+1)^2-1=2\sum i+n$ ⇒ $\sum i=\dfrac{n(n+1)}2$.
- $(i+1)^3-i^3=3i^2+3i+1$ 을 합: $\ (n+1)^3-1=3\sum i^2+3\sum i+n$.
- $3\sum i^2=(n^3+3n^2+3n)-\dfrac{3n(n+1)}2-n=n(n+1)(n+2)-\dfrac{3n(n+1)}2$.
- $=n(n+1)\cdot\dfrac{2n+1}2$ ⇒ $\sum i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ ∎
- $\Delta x=\tfrac1n$, $x_i=\tfrac in$. $\ R_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(\tfrac in\right)^2\tfrac1n=\tfrac1{n^3}\sum_{i=1}^ni^2$.
- $\sum i^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ 대입: $\ R_n=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$.
- $=\tfrac16\left(1+\tfrac1n\right)\left(2+\tfrac1n\right)$.
- $n\to\infty$: $\ R_n\to\tfrac16\cdot1\cdot2=\tfrac13$ ∎
- $\displaystyle\int_a^b[f+g]\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum[f(x_i)+g(x_i)]\Delta x$ (정리 4).
- $=\lim\left[\sum f(x_i)\Delta x+\sum g(x_i)\Delta x\right]$.
- 극한의 합 법칙: $=\lim\sum f(x_i)\Delta x+\lim\sum g(x_i)\Delta x=\displaystyle\int_a^bf+\int_a^bg$ ∎
- (성질 8) $m\le f\le M$ 에 성질 7: $\ \displaystyle\int_a^bm\,dx\le\int_a^bf\,dx\le\int_a^bM\,dx$.
- 성질 1 ($\int_a^bc\,dx=c(b-a)$) 로 양 끝을 계산: $\ m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$ ∎
- $\Delta x=\tfrac3n$, $x_i=\tfrac{3i}n$ ⇒ $\ \displaystyle\sum f(x_i)\Delta x=\tfrac3n\sum\left[\tfrac{27}{n^3}i^3-\tfrac{18}ni\right]$.
- $=\tfrac{81}{n^4}\sum i^3-\tfrac{54}{n^2}\sum i$ (상수는 $\Sigma$ 밖으로).
- $=\tfrac{81}{n^4}\left[\tfrac{n(n+1)}2\right]^2-\tfrac{54}{n^2}\cdot\tfrac{n(n+1)}2=\tfrac{81}4\left(1+\tfrac1n\right)^2-27\left(1+\tfrac1n\right)$.
- $n\to\infty$: $\ \tfrac{81}4-27=-\tfrac{27}4$ ∎
- 성질 5: $\ g(x+h)-g(x)=\displaystyle\int_a^{x+h}f-\int_a^xf=\int_x^{x+h}f(t)\,dt$.
- $h\gt0$ 일 때 $[x,x+h]$ 에서 $f$ 의 최솟값 $m=f(u)$, 최댓값 $M=f(v)$ (극값 정리).
- 성질 8: $\ f(u)\,h\le\displaystyle\int_x^{x+h}f\le f(v)\,h$ ⇒ $\ f(u)\le\dfrac{g(x+h)-g(x)}h\le f(v)$.
- $h\to0$ 이면 $u,v\to x$. $f$ 가 연속이므로 $f(u),f(v)\to f(x)$.
- 조임 정리: $\ g'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}h=f(x)$ ∎ ($h\lt0$ 도 같은 방식)
- $g(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ 는 FTC1에 의해 $g'=f$, 곧 $f$ 의 역도함수.
- 같은 구간에서 두 역도함수는 상수 차이 (4.9): $\ F(x)=g(x)+C$.
- $g(a)=\displaystyle\int_a^af=0$.
- $F(b)-F(a)=[g(b)+C]-[g(a)+C]=g(b)-g(a)=g(b)=\displaystyle\int_a^bf$ ∎
📌 공식 치트시트 시험장 들어가기 5분 전에
- 점근선: $\lim_{x\to\pm\infty}f$ (수평), 분모 영점 근처 극한 (수직)
- 절편: $f(0)$, $f(x)=0$ (중복도 짝수 ⇒ 접촉, 홀수 ⇒ 통과)
- $f'$ 부호 변화 ⇒ 극값 / $f''$ 부호 변화 ⇒ 변곡점
- 정확값 요구 ⇒ 미분으로 풀기 (예: $f'=0$, $f''=0$)
- 직사각형 $A=xy$, 울타리 $P=2x+y$ (한 변 강)
- 열린 상자 $V=x(L-2x)^2$ ⇒ $x=L/6$
- 원통 $V=\pi r^2h$, $A=2\pi r^2+2\pi rh$ ⇒ $h=2r$
- 거리 $d^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$ 최소화
- 시간 $T=\sum\dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$ ⇒ 끝점 비교
- $R=xp(x)$, $P=R-C$, $R'=C'$
- $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
- $\sqrt a$: $x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac a{x_n}\right)$
- $\dfrac1a$: $x_{n+1}=2x_n-ax_n^2$
- $\cos x=x$: $x_{n+1}=x_n+\dfrac{\cos x_n-x_n}{\sin x_n+1}$ (라디안)
- 멈춤: 두 값이 원하는 자리까지 일치. 실패: $f'(x_n)=0$, 진동
- $x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ $(n\ne-1)$, $\ \dfrac1x\to\ln|x|$, $\ e^x\to e^x$, $\ b^x\to\dfrac{b^x}{\ln b}$
- $\sin x\to-\cos x$, $\cos x\to\sin x$, $\sec^2x\to\tan x$, $\sec x\tan x\to\sec x$
- $\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\to\sin^{-1}x$, $\ \dfrac1{1+x^2}\to\tan^{-1}x$
- $\cosh x\to\sinh x$, $\sinh x\to\cosh x$
- 모두 마지막에 $+C$. 초기조건으로 $C$ 결정.
- $v=s'$, $a=v'$ ⇒ $s=\text{(}v\text{의 역도함수)}$, $v=\text{(}a\text{의 역도함수)}$
- 중력(위쪽 +): $a=-9.8$, $v=-9.8t+v_0$, $s=-4.9t^2+v_0t+s_0$
- 최고점 $v=0$ ⇒ $t=v_0/9.8$, 높이 $s_0+\dfrac{v_0^2}{19.6}$
- 착지 $s(t)=0$ ⇒ 이차방정식 (양의 해만)
- $\Delta x=\dfrac{b-a}n$, $x_i=a+i\Delta x$
- $R_n=\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$, $L_n=\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\Delta x$
- $A=\lim R_n=\lim L_n=\lim\sum f(x_i^*)\Delta x$
- $f$ 증가 ⇒ $L_n\le A\le R_n$ (감소는 반대)
- 거리 $=\lim\sum v(t_i)\Delta t$ ($v\ge0$)
- $\sum1=n$, $\sum i=\frac{n(n+1)}2$, $\sum i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$, $\sum i^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2$
- $\int_a^bf=\lim\sum f(x_i)\Delta x$ (정리 4), 중점법 $\Delta x\sum f(\bar x_i)$
- $\int_b^a=-\int_a^b$, $\int_a^a=0$, $\int_a^c+\int_c^b=\int_a^b$
- $\int cf=c\int f$, $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$, $\int_a^bc=c(b-a)$
- $m\le f\le M$ ⇒ $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$ ($a\le b$)
- FTC1: $\dfrac d{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$ ($f$ 연속)
- 연쇄법칙: $\dfrac d{dx}\displaystyle\int_a^{u(x)}f=f(u)\,u'$, $\ \dfrac d{dx}\int_{v}^{u}f=f(u)u'-f(v)v'$
- FTC2: $\displaystyle\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a)=\big[F\big]_a^b$, $F'=f$ (+C 불필요)
- 구간 전체에서 연속인지 확인, 절댓값·구간별 함수는 쪼개기
- $\int_a^xF'(t)dt=F(x)-F(a)$ (역과정)
- 최적화: 정의역을 쓰지 않고 끝점을 비교하지 않는다 / 최대·최소 확인 누락.
- 최적화: 단위 불일치, 소거 후 식이 한 변수가 아님.
- $f''=0$ 만으로 변곡점이라 쓴다 ⇒ 부호 변화 확인.
- 뉴턴법: 계산기 라디안 모드, 시작값 선택, “두 값이 같을 때까지”의 자릿수.
- 역도함수: $+C$ 누락, $\ln x$ vs $\ln|x|$, 곱의 역도함수를 $F\cdot G$ 로.
- 초기조건: 2계 도함수면 상수 두 개.
- 리만 합: $R_n$ / $L_n$ 의 인덱스와 증가·감소에 따른 과대·과소.
- 정적분: $[a,b]$ 와 피적분함수를 정확히 읽기, $\Sigma$ 밖으로 $\tfrac{b-a}n$.
- 순넓이: 음수 부분은 빼기. 값이 음수여도 정상.
- 성질 6–8: $a\le b$ 에서만. 곱의 적분 $\ne$ 적분의 곱.
- FTC2: 피적분함수가 구간에서 불연속이면 쓸 수 없다 (양수 함수인데 음수가 나오면 의심).
- FTC1: 윗끝이 $u(x)$ 면 $u'(x)$ 를 곱하고, 아랫끝이 변수면 부호를 바꾼다.
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- 4.6 큰 창 → $f'$ 부호 변화 → $f''$ 부호 변화 → 줌인 순서로 그래프를 분석하고, 정확값은 미분으로 구할 수 있다.
- 4.6 인수분해된 유리함수에서 점근선과 $x$절편(중복도에 따른 거동)을 미분 없이 읽는다.
- 4.6 함수족($\frac1{x^2+2x+c}$ 등)에서 공통 성질과 전이값을 설명할 수 있다.
- 4.7 최적화 6단계를 말하고, 정의역·끝점 비교를 빠뜨리지 않는다.
- 4.7 울타리·상자·원통 캔·내접 도형 문제를 한 변수 함수로 세울 수 있다.
- 4.7 거리 문제에 $d^2$ 를, 시간 문제에 $\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 를 쓸 수 있다 (보트 문제의 끝점 비교).
- 4.7 $R=xp(x)$, $P=R-C$, $R'=C'$ 로 경영 문제를 풀 수 있다.
- 4.8 뉴턴의 점화식을 세우고 두세 번 직접 계산할 수 있다.
- 4.8 멈추는 기준과 실패 사례($f'(x_n)=0$, 진동)를 설명할 수 있다.
- 4.8 $\sqrt a$, $\frac1a$ 알고리즘을 유도한다.
- 4.9 역도함수 표(삼각, 지수, 역삼각, 쌍곡)를 보지 않고 쓴다. $+C$, $\ln|x|$ 주의.
- 4.9 초기조건으로 상수를 정하고, 2계 도함수는 상수 2개임을 안다.
- 4.9 $f$ 의 그래프로 $F$ 의 증감·극값·변곡점을 해석한다.
- 4.9 $a\to v\to s$ 를 구하고 자유낙하($s=-4.9t^2+v_0t+s_0$) 문제를 푼다.
- 5.1 $R_n,L_n,M_n$ 을 계산하고 증가·감소에 따른 과대·과소 추정을 판정한다.
- 5.1 넓이의 정의(극한식)와 $\sum i^2$ 로 $y=x^2$ 아래 넓이 $\frac13$ 을 유도한다.
- 5.1 속도 표에서 이동 거리의 하한·상한을 구하고 “넓이 = 거리”를 설명한다.
- 5.2 정적분의 정의와 리만 합, 적분가능성(정리 3), 오른쪽 끝점 공식(정리 4)을 쓴다.
- 5.2 합 공식 (5)–(11)로 $\int_0^3(x^3-6x)dx=-\frac{27}4$ 를 극한으로 계산한다.
- 5.2 극한식 ↔ 적분식 변환, 넓이 해석(반원·삼각형·순넓이)을 한다.
- 5.2 성질 1–8을 구분해서 쓰고, 성질 8로 적분값을 추정한다.
- 5.3 FTC1을 말하고 연쇄법칙까지 포함해 $\frac d{dx}\int_a^{u(x)}f$ 를 미분한다.
- 5.3 FTC2로 정적분을 계산한다 ($[F]_a^b$ 표기, $+C$ 불필요, 구간 쪼개기).
- 5.3 FTC2를 쓸 수 없는 경우(불연속)를 알아보고, 두 부분의 증명을 설명한다.
- 전체 Chapter 4·5 연습문제의 ✘ 복습 문제를 다시 풀었다.
- 전체 증명 10선을 “식 가리기”로 한 번씩 재현했다.
출처: Stewart, Clegg, Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th Ed. (Metric Version), §4.6–5.2 · 본 노트는 학습용 요약이며 예제는 교재 내용을 바탕으로 재구성했고, 연습문제·퀴즈는 새로 만든 것입니다.
수식 렌더링에 KaTeX(CDN)를 사용하므로 최초 열람 시 인터넷 연결이 필요합니다.